Что такое принцип Ферма?

Век XVII был ознаменован бурным развитием в Европе специального раздела физики - оптики. Были открыты для света законы отражения и преломления, а принцип Ферма показал, почему они имеют соответствующий математический вид. Разберемся подробнее, что собой представляет этот принцип.

Явления преломления и отражения

Под отражением понимают явление, при котором свет, распространяясь в прозрачном для него веществе, встречает на своем пути препятствие и резко изменяет свою траекторию. Препятствием может быть любое: жидкое или твердое тело, прозрачное и непрозрачное.

Явление отражения было известно с глубокой древности. Согласно историческим свидетельствам, законы отражения уже были сформулированы еще до нашей эры. А в первом веке нашей эры египетский философ Герон Александрийский высказал идею о траектории света, которую впоследствии использовал француз Пьер Ферма при формулировке своего принципа.

Явление преломления заключается в изломе прямой линии, по которой движется свет, при пересечении им поверхности, разделяющей два прозрачных материала. Заметим, что в случае отражения луч движется в одном прозрачном материале или, как принято говорить, в одной среде.

Первая формулировка законов преломления приписывается персидскому математику X века, некоему Ибну Сахлю, который в своих работах опирался на труды Клавдия Птолемея (I-II века н. э.). На рубеже конца XVI - начала XVII веков голландский ученый Снелл, обобщив результаты многих экспериментов со светом, сформулировал в математическом виде 2-й закон преломления, который в настоящее время носит его фамилию. Снелл свою формулировку привел в терминах расстояний, а не углов, как это принято сейчас. Современный вид закону преломления придал уже Рене Декарт.

Законы распространения света в прозрачных средах

Перед тем как переходить к рассмотрению принципа Ферма, законы преломления и отражения света следует сформулировать. Для каждого из этих явлений принято выделять по два закона. Ниже они попарно объединены:

1. Траектория луча, когда он пересекает границу раздела двух сред, всегда лежит в одной плоскости с нормалью, проведенной к плоскости этой границы. Возможная траектория луча формируется в общем случае из трех частей: падающий луч, преломленный и отраженный.
2. Если угол между падающим лучом света и нормалью назвать θ₁, аналогичный угол, но уже для отраженного луча, записать как θ₂, а преломленный - θ₃, тогда 2-й закон будет иметь вид:

• для отражения: θ₁ = θ₂;
• для преломления: n₁*sin(θ₁) = n₂*sin(θ₃).

В этих формулах n₁ и n₂ - это показатели преломления в прозрачных средах 1 и 2. Показатель преломления, согласно определению, вычисляется так:

n = c/v.

Здесь v и c - скорости движения луча света в среде и в вакууме.

Формулировка принципа Ферма

Пьер Ферма был одним из известных математиков и юристов Франции в первой половине XVII века. Принцип, который носит его фамилию, он сформулировал в 1662 году, то есть спустя полвека после открытия Снеллом своего закона для преломления.

Кратко принцип Ферма может быть сформулирован так: свет при движении в абсолютно любых прозрачных средах выбирает такую траекторию, которую он пройдет за наименьшее время.

По сути, эта формулировка ничем не отличается от той, что сделал Герон Александрийский полторы тысячи лет ранее для явления отражения. Тем не менее француз сделал ее общей для всех явлений, связанных со светом, и показал, как из этого принципа могут быть получены законы преломления и отражения.

Вывод 1-го закона отражения

Пользуясь принципом Ферма, законы отражения получим математически. Для этого рассмотрим рисунок ниже.

Здесь показано, что луч выходит с точки S, которая лежит на оси y. Затем он отражается от плоскости xz в некоторой неизвестной точке M. После отражения луч движется к точке P, лежащей на плоскости xy. Выбранное положение точек S и P не влияет на общность дальнейших рассуждений, а лишь упрощает математические выкладки.

Итак, запишем координаты каждой точки:

S (0; y_S; 0);

M (x; 0; z);

P (x_P; y_P; 0).

Координаты положения точек S и P известны. Задача состоит в том, чтобы найти такую точку M, которая будет соответствовать реальной траектории SMP, пройденной световым лучом. Также будем полагать, что рассматриваемое пространство является однородным, то есть скорость света в любой точке является постоянной величиной.

Согласно принципу Ферма, траекторию SMP свет пройдет за наименьшее время, если она будет наиболее короткой из всех возможных. Запишем ее длину:

SM = √(x² + y_S² + z²); MP = √((x-x_P)²+y_P²+z²);

SMP = √(x² + y_S² + z²) + √((x-x_P)²+y_P²+z²).

Чтобы вычислить минимальную длину SMP, необходимо найти частные производные по x и z (неизвестные координаты точки M) и приравнять к нулю полученные результаты.

Сначала найдем частную производную по z. Имеем:

∂(SMP)/∂z = z/√(x² + y_S² + z²) + z/√((x-x_P)²+y_P²+z²) = 0.

Это равенство имеет единственный корень, когда z = 0. Иными словами, точка M лежит на оси x, то есть в той же плоскости, что и точки P и S (плоскость xy). Откуда следует, что восстановленная нормаль к плоскости xz, в которой, по условию задачи, находится точка M, будет лежать вместе с SM и MP в одной плоскости (xy). Это и есть 1-й закон отражения.

Вывод 2-го закона отражения

Продолжим производить вычисления предыдущего пункта. Как было сказано, теперь необходимо найти частную производную по x. Имеем:

∂(SMP)/∂x = x/√(x² + y_S² + z²) + (x-x_P)/√((x-x_P)²+y_P²+z²) = 0.

Последнее равенство запишем в виде:

x/SM + (x-x_P)/MP = 0 =>

x/SM = (x_P-x)/MP.

Полученные отношения в каждой части равенства - это синусы углов с вершиной в точках S и P. Если восстановить теперь нормаль к плоскости xz через точку M, то отмеченные углы будут соответствовать углам падения (между SM и нормалью) и отражения (между MP и нормалью).

Таким образом, следуя принципу Ферма, мы получили также 2-й закон отражения света.

Вывод закона преломления Снелла

Теперь покажем, как можно вывести из принципа Ферма закон преломления света. Для этого рассмотрим рисунок, похожий на предыдущий.

Для простоты будем рассматривать случай в плоскости xy. Выпишем координаты источника S и приемника P света, которые находятся в разных средах:

S(x_S; y_S);

M(x; 0);

P(x_P; y_P).

Найдем неизвестную координату точки M. Координата y=0 для нее точно известна, поскольку именно на границе сред (ось x) меняется скорость распространения света. Длины отрезков SM и MP равны:

SM = √(x-x_S)² + y_S²);

MP = √(x_P-x )² + y_P²).

Общее время, которое затратит свет на прохождение траектории SMP, будет равно:

t = SM/v₁ + MP/v₂.

Здесь v₁, v₂ - скорости луча в соответствующих средах. Чтобы найти минимальное время движения, следует взять полную производную по переменной x и приравнять ее к нулю. Получаем:

dt/dx = (x-x_S)/(√(x-x_S)² + y_S²)*v₁) - (x_P-x)/(√(x_P-x)² + y_P²)*v₂) = 0 =>

(x-x_S)/(SM*v₁) = (x_P-x)/(MP*v₂).

Используя функции синусов угла падения θ₁ и преломления θ₃, получаем:

sin(θ₁)/v₁ = sin(θ₃)/v₂.

Чтобы привести полученное равенство к закону Снелла в удобном виде (через показатели преломления сред), необходимо помножить левую и правую части на скорость света c.

Таким образом, применение принципа Ферма позволяет легко вывести законы для основных явлений движения светового луча в прозрачных материалах.

Движение света в неоднородной среде

Рассмотренные выше случаи предполагают, что материал является гомогенным, и световой луч при движении в нем скорость свою сохраняет. В случае же негомогенных сред справедливо равенство:

L = ∫n(x,y,z)*dl.

Этот интеграл берется вдоль траектории следования света. Дифференциал dl - это отрезок пути, для которого среда сохраняет свою однородность. Величина n(x,y,z) - это локальный показатель преломления.

Отмеченный интеграл принято называть интегралом оптического пути. Принцип Ферма для оптического пути предполагает нахождение экстремумов для L.

Обобщенная формулировка рассматриваемого принципа

Принцип минимального времени для движения света является частным для более общей формулировки. В настоящее время обобщенный принцип Ферма формулируют так: свет выбирает во время движения такую траекторию, которая соответствует экстремумам оптического пути.

Экстремумами функции, согласно математическому определению, являются минимум, максимум и точка перегиба. Общий принцип Ферма удовлетворяет всем этим значениям, то есть траектория света не обязательно будет минимальной, она может быть и максимальной, и соответствующей точке перегиба оптического пути.

Бытовая аналогия с рассматриваемым принципом

Общий принцип Ферма, в свою очередь, является частным случаем так называемого принципа наименьшего действия. Здесь не будем приводить соответствующие определения и их математические формулировки, однако покажем, где можно применить предложенный французом принцип.

Используется он при решении простой, на первый взгляд, бытовой задачи: допустим, вблизи пляжа в море тонет человек. Как должен двигаться спасатель, находящийся на берегу, чтобы спасти утопающего? Конечно же, он должен прийти на помощь за наименьшее время. Поскольку скорость движения спасателя по пляжу больше, чем по воде, ему следует пробежать некоторое расстояние по берегу, а лишь затем прыгнуть в воду и поплыть. То есть задача сводится к применению принципа Ферма, где роль светового луча играет спасатель.

Отметим, что решение этой задачи не является простым, поскольку в его процессе появляются уравнения 4-й степени.

Таким образом, принцип Ферма - это инструмент получения основных законов распространения света. Однако он не является фундаментальным. Можно сказать, что он следует из принципа Гюйгенса об источниках вторичных сферических волн.