Динамика и кинематика движения по окружности: формулы и решение типовой задачи

Умение описывать движение по окружности является важным для проведения расчетов технических характеристик вращающихся валов и шестерен. Этот вид движения также встречается в быту и природе, например вращение планет вокруг Солнца и фигуристов во время выступления на спортивных соревнованиях. В данной статье рассмотрим, как с точки зрения физики можно описать этот вид движения.

Динамика вращения

Движение по окружности - это вращение некоторого тела или материальной точки вокруг оси. Чтобы тело начало вращаться, необходимо наличие внешнего момента сил, действующего на рассматриваемую систему. Этот момент определяется по формуле:

M = F*d

Здесь F - сила, d - длина рычага (расстояние между осью и точкой приложения силы). Момент силы является величиной векторной. Приведенная формула используется для расчета модуля M.

Действие момента M отражается на системе в виде появления углового ускорения. То есть система начинает вращаться. Главная формула движения по окружности записывается в виде:

M = I*α

Здесь I - момент инерции, α - ускорение угловое. Обе величины имеют свои аналоги для линейного случая. Если с аналогом величины α все понятно, то для момента инерции I необходимо пояснить. Величина I отражает инерционные свойства вращающейся системы. То есть при вращении она играет такую же роль, как обычная масса тела.

Отметим, что приведенное выражение является аналогом второго закона Ньютона для вращения.

Центростремительная и центробежная силы, ускорение

Процесс вращения предполагает наличие некоторой внутренней силы, которая бы обеспечивала криволинейное движение тела. Эта сила называется центростремительной. Согласно названию, она направлена всегда от тела к оси вращения. Поскольку длина рычага d для нее равна нулю, то к возникновению углового ускорения α она не приводит. Тем не менее она изменяет вектор линейной скорости, то есть создает ускорение.

Ускорение при движении по окружности без изменения модуля линейной скорости называется центростремительным. Оно вычисляется по формуле:

a_c = v²/r

Где v - линейная скорость материальной точки, вращающейся на расстоянии r от оси.

Помимо центростремительной, можно часто услышать и о центробежной силе. Последняя стремится вывести тело из круговой траектории на прямолинейную. Причиной ее появления являются инерционные свойства вращающейся системы.

При движении по окружности центростремительная и центробежная силы по модулю равны друг другу, а по направлению они противоположны.

Кинематические уравнения вращения

Движение по окружности, как и по прямой линии, может быть равномерным или происходить с ускорением. В первом случае справедлива формула:

θ = ω*t

То есть центральный угол θ, на который повернется тело за время t, прямо пропорционален угловой скорости ω. Угол θ выражается в радианах, а скорость ω - в радианах в секунду.

Если действует постоянный внешний момент сил на систему, то движение по окружности происходит с некоторым постоянным ускорением α. В таком случае будет справедливо следующее кинематическое выражение:

θ = α*t²/2

Если система сначала вращалась с некоторой скоростью ω_0, а затем стала увеличивать частоту своего вращения с ускорением α, то, начиная с момента времени t, когда появилось ускорение, будет справедлива формула:

θ = ω₀*t + α*t²/2

Заметим, что это выражение является линейной комбинацией двух предыдущих.

Связь линейных и угловых кинематических характеристик

Выше была приведена формула для центростремительного ускорения, записанная через линейную скорость v. Однако эту формулу можно записать также через соответствующую угловую характеристику ω.

Предположим, что вращающееся тело совершило один оборот по окружности за время t. Тогда для линейной и угловой скоростей можно записать:

v = 2*pi*r/t;

ω = 2*pi/t

Откуда видно, что модуль линейной скорости v в r раз больше модуля величины ω, то есть:

v = ω*r

Это равенство связывает угловую и линейную скорости. Используя его, можно записать формулу для a_c через ω:

a_c = ω²*r

Теперь вычислим в формуле со скоростями производную по времени для левой и правой частей равенства, получим:

dv/dt = dω/dt*r =>

a = α*r

Это равенство связывает направленное по касательной к окружности линейное ускорение a и его угловой аналог α.

Нетрудно доказать, что центральный угол поворота θ при движении по окружности связан с длиной ее дуги L, следующим выражением:

L = θ*r

Здесь, если θ будет равен 2*pi радиан (полный оборот), мы получим длину окружности L.

Решение задачи на определение центростремительной силы

Известно, что к веревке длиной 1 метр привязали камень массой 0,5 кг и стали его вращать с угловой частотой 3 об/с. Необходимо найти силу натяжения веревки F_c.

Сила натяжения F_c является центростремительной. Ее можно вычислить по формуле:

F_c = m*a_c

Масса камня m известна. Центростремительное ускорение a_c можно рассчитать из знания угловой скорости ω. С заданной в задаче частотой f величина ω связана выражением:

ω = 2*pi*f

Тогда центростремительное ускорение будет рассчитываться так:

a_c = 4*pi²*f²*r

Искомая сила F_c будет равна:

F_c = 4*pi²*f²*r*m

Если из условия задачи подставить данные в эту формулу, то получится значение силы F_c, приблизительно равное 177,5 Н.