Что такое конус в геометрии? Определение, формулы, пример задачи

Знание свойств геометрических фигур позволяет не только решать теоретические задачи, но также выполнять разные практически важные расчеты. Одной из таких фигур, свойства которой будут рассмотрены в данной статье, является конус. Что такое конус, какие виды его бывают, как найти его площадь и объем? Ниже освещаются подробно все эти вопросы.

Общее определение конуса в геометрии

Стереометрия, которая занимается изучением характеристик фигур в трехмерном пространстве, предлагает следующий ответ на вопрос, что такое конус: это фигура, поверхность которой образована совокупностью прямых отрезков, соединяющих некоторую точку пространства с определенной кривой на плоскости.

Отмеченная точка пространства называется вершиной конуса, прямые отрезки - это генератрисы фигуры или ее образующие, а сама кривая на плоскости - это директриса (направляющая).

Под названное определение подходит целый класс фигур, самыми известными из которых являются круглый, эллиптический, параболический и гиперболический конусы. Эллиптическая фигура показана ниже на рисунке.

Директриса этого конуса представляет собой замкнутый эллипс, который ограничивает основание фигуры. Генератрисы любого конуса все вместе образуют коническую поверхность, которая называется боковой. Эти две поверхности (основание и боковая) ограничивают пространственный объем, который принято называть объемом конуса.

Круглый прямой конус - фигура вращения

Эллиптический конус, изображенный на рисунке выше, нельзя получить в результате вращения какой-либо плоской фигуры. Единственным представителем класса конусов, который можно образовать вращением, является круглый прямой конус. Эта фигура показана ниже.

Видно, что ее основание представляет идеальный круг. Более того, любое сечение боковой поверхности плоскостью, параллельной основанию, также будет кругом, но с меньшим диаметром, чем фигура в основании.

Оранжевый треугольник ABC, выделенный внутри конуса, является прямоугольным. Видно, что его катет AC является радиусом основания r. Катет AB - это высота фигуры h. По построению понятно, что высота является длиной перпендикуляра, проведенного из вершины фигуры B к плоскости основания (круга). Эта высота пересекает круг в его центре. Последнее означает, что конус является прямым. Наконец, гипотенуза треугольника BC является не чем иным, как генератрисой конуса.

Чтобы с помощью описанного треугольника образовать конус, необходимо вращать его вокруг стороны AB.

Для наглядного представления разницы между прямым и наклонным конусами приведем соответствующий рисунок.

Различие между двумя фигурами очевидно: если их основания являются одинаковыми, то опущенные из вершины высоты пересекают основания в разных точках. Первая фигура является прямой, вторая - наклонной.

Линейные параметры круглого прямого конуса и угол при основании

Выше уже были обозначены эти параметры. Перечислим их снова:

• радиус r;
• высота h;
• генератриса g.

Для однозначного задания конуса эти три параметра являются избыточными, то есть рассматриваемую фигуру можно построить и рассчитать все ее свойства, зная только два из трех названных параметров. Привлекая рассмотренную схему получения конуса с помощью вращения прямоугольного треугольника, можно записать следующее соотношение между генератрисой, радиусом и высотой конуса:

g = √(r² + h²).

Это равенство является очевидным и не требует доказательства (следует вспомнить о теореме Пифагора).

Задать конус можно не только с помощью прямых отрезков r, h и g, но также используя угловую меру между любой из генератрис фигуры и плоскостью основания. Обозначим этот угол буквой φ. Пользуясь определением функций тригонометрических, можно записать ряд формул, в которых угол φ связывает линейные параметры. Запишем основные из них:

g = h/sin(φ);

g = r/cos(φ);

h = r*tg(φ).

Площадь поверхности фигуры

Рассматривая вопрос, что такое конус, приведем формулу, позволяющую определить площадь его полной поверхности. Чтобы понятнее было, о чем пойдет речь, приведем развертку на плоскость рассматриваемой фигуры.

Развертка конуса на плоскости представляет собой две фигуры. Круг - это основание конуса, круговой сектор радиусом g - это боковая поверхность. Круговой сектор легко получить, если взять бумажную коническую поверхность и разрезать ее вдоль любой генератрисы g. Развернув эту поверхность, мы получим искомый сектор.

Определение площади S_o круга не представляет проблем. Соответствующее выражение приведено ниже:

S_o = pi*r².

Что касается кругового сектора, то необходимые его параметры для расчета площади S_b также известны: радиус g и длина дуги, соответствующая длине окружности рассмотренного выше круга. Формула для расчета площади боковой поверхности конуса S_b имеет вид:

S_b = pi*r*g.

Таким образом, общая площадь фигуры равна:

S = S_o + S_b = pi*r*(r+g).

Формула для объема

Зная, что такое конус круглый прямой, нетрудно записать формулу для его объема. Поскольку рассматриваемую фигуру можно считать пирамидой с бесконечным числом боковых ребер, то для нее, как для всякой пирамиды, объем можно вычислить по формуле:

V = 1/3*S_o*h.

Значение площади S_o мы уже приводили выше, поэтому искомой формулой для объема прямого конуса с круглым основанием будет следующая:

V = 1/3*pi*r² *h.

Решение геометрической задачи

Известно, что значение площади поверхности конуса круглого прямого равно 300 см². Необходимо определить радиус конуса, зная, что его генератриса равна 15 см.

Запишем равенство для площади и подставим значение g = 15 см и S = 300 см², получим:

S = pi*r*(r+g) =>

300 = pi*r² + 15*pi*r.

Разделим левую и правую части на число pi, получим следующее квадратное уравнение:

r² + 15*r - 95,54 = 0.

Решаем это уравнение через дискриминант, получаем:

D = 15² - 4*(-95,54) = 607,16;

r = (-15±√D)/2 = (4,82; -19.82).

Отрицательный корень не соответствует условию задачи, поэтому можно записать ответ: заданный конус имеет радиус 4,82 см.