Вариация - это что такое?

Вариация - универсальное понятие, которое применяется в математике, музыке, биологии и других областях для обозначения небольшого изменения в рамках сохранения основы. Давайте разберемся в этом удивительном слове.

Происхождение термина "вариация"

Слово "вариация" пришло к нам из латинского языка от слова "variatio", что означает "изменение" или "разнообразие". Впервые этот термин использовал в 1762 году французский математик Жозеф Луи Лагранж. Он ввел понятие "метод вариации" для решения задач на экстремум. Суть этого метода в том, что рассматриваются малые изменения заданной функции и анализируется, как при этом меняется значение функционала.

Вариа́ция, -и, ж. ^[1] Видоизменение второстепенных элементов, частностей чего-л. при сохранении того, что является основой.

Итак, изначально под вариацией понимали небольшое отклонение от заданной величины, которое может как-то повлиять на конечный результат, но не меняет саму суть объекта или процесса. Это фундаментальное определение вариации сохранилось до сих пор.

Что такое вариация в математике

Вариация является одним из ключевых понятий в вариационном исчислении и теории оптимального управления. Рассмотрим подробнее, как используется это понятие в математике.

• Малое изменение независимой переменной или функционала
• Основа метода вариаций при решении экстремальных задач
• Семейство кривых, исходящих из одной точки
• Разные классы вариаций: Векторная Ломаная Игольчатая

C помощью вариации исследуются свойства функционалов, в частности, находятся необходимые условия существования экстремума. Например, можно найти так называемое уравнение Эйлера--Лагранжа, записав его в виде δF = 0, где F - заданный функционал, а δ - вариация по Эйлеру.

Также в математической статистике под вариацией понимают характеристику разброса или изменчивости значений какого-либо признака. Чем выше вариация, тем сильнее отличаются значения признака у разных объектов выборки.

Вариация в других областях

Кроме математики, термин "вариация" используется в музыке, биологии, хореографии и даже в астрономии. Везде это означает некоторое отклонение, изменение в рамках сохранения основы. Рассмотрим несколько примеров.

Музыкальная вариация

В музыке вариации - это видоизменения мелодии или музыкальной темы с сохранением ее узнаваемого характера. Преобразуются ритм, лад, гармония, фактура, но основной мотив, как правило, остается. Известные примеры:

• Вариации на тему Паганини С. Рахманинова
• Дивертисмент «Эхо» В.А. Моцарта

Биологическая вариация

В биологии под вариацией понимают изменчивость признаков живых организмов. Это могут быть небольшие отклонения в окраске, размерах частей тела, физиологических особенностях. Такая изменчивость лежит в основе эволюции видов.

Один из важнейших биологических законов - закон гомологических рядов вариации Николая Ивановича Вавилова гласит, что виды, близкие по происхождению, имеют сходный характер изменчивости.

Вариация в балете

В хореографии вариацией называют небольшой сольный танец, как правило, виртуозного характера. Вариации часто включаются в структуру классических па-де-де, па-де-труа, дуэтов и ансамблей.

Знаменитые примеры вариаций:

• Вариация Одетты из балета «Лебединое озеро» П.И. Чайковского
• Вариация Китри из балета «Дон Кихот» Л. Минкуса

Вариация в астрономии

В астрономии термин "вариация" используется для обозначения одной из неправильностей в движении Луны. Речь идет об отклонениях ее орбиты от расчетных значений. Это связано с возмущающим воздействием других небесных тел.

В частности, под лунными вариациями понимают циклические изменения небесной долготы Луны с периодом около 14 суток. Амплитуда этих вариаций составляет порядка 4000 угловых секунд.

Статистические вариации

В теории вероятностей и математической статистике вариацией называют степень разброса или изменчивости случайной величины. Численно вариация характеризуется дисперсией или средним квадратичным отклонением.

Например, пусть проводятся многократные измерения массы некоторого объекта. Полученные значения будут случайно разбросаны вокруг истинного значения. Этот разброс и есть вариация результатов измерений.

Вариация в лингвистике

Вариация в языкознании - это сосуществование различных вариантов одного языкового элемента. Например, слово может иметь варианты произношения или написания.

Региональные варианты языка также можно рассматривать как проявление вариации. Они отличаются в деталях, сохраняя единство литературного языка.

Форма вариации в искусстве

Вариационная форма часто встречается в музыке, танце, архитектуре. Она основана на многократном повторении и видоизменении какого-либо элемента произведения.

Например, в музыке это может быть цикл вариаций на заданную тему. В архитектуре варьируются отдельные детали сооружения при общем единстве композиции.

Математические формулы вариации

Вариационное исчисление оперирует различными формулами для вычисления величины вариации функционалов. Рассмотрим некоторые из них:

• ΔF = δF + o(δ)
• δ∫f(x, y)dx = ∫(δf)dx + f(x, y)*δx|границы

Здесь δ - оператор вариации, F - функционал, а f - функция. Данные формулы позволяют найти изменение функционала при вариации функции или переменной.

Вариации в физике

В физике термин "вариация" также широко используется. Например, вариацией называют изменение гравитационного поля Земли с течением времени. Периодические изменения напряженности магнитного поля планеты тоже обозначаются как магнитные вариации.

В механике вариацией называют бесконечно малое приращение динамической величины. С помощью вариаций можно получить уравнения движения системы.

Принцип вариации в эволюции

Один из важнейших принципов биологической эволюции - принцип изменчивости, или вариации. Он заключается в том, что особи одного вида обладают изменчивостью наследуемых признаков.

Без такой вариабельности невозможен естественный отбор - движущая сила эволюции. Принцип вариации объясняет способность живых организмов приспосабливаться к меняющимся условиям среды.

Технические вариации

Вариацией в технике называют конструктивное изменение изделия, не затрагивающее его основных характеристик. Цель варьирования - улучшить отдельные свойства, не меняя общей концепции.

Например, автомобиль одной модели может выпускаться в разных вариациях: седан, универсал, кабриолет и т.д. Это позволяет расширить ассортимент продукции.

Вариативность систем

Еще один термин, связанный с вариацией, - вариативность. Он означает способность системы существовать или функционировать в различных вариантах, модификациях.

Например, вариативность образовательных программ подразумевает возможность гибкого выбора учебных курсов обучающимися.

Вариации в психологии

В психологии под вариацией понимают изменчивость, непостоянство какого-либо психического явления. Например, вариативность настроения, когда оно колеблется от радости до печали.

Также выделяют индивидуальные вариации - различия в проявлении одних и тех же психических функций у разных людей. Это обусловлено как генетикой, так и особенностями воспитания.

Социальные вариации

В социологии под социальной вариацией понимают разнообразие, многообразие форм социальной жизни, социальных явлений и процессов.

Например, семья как социальный институт имеет множество вариаций: полная или неполная, нуклеарная или расширенная, патриархальная или эгалитарная и т.д.

Философский аспект

С философской точки зрения, вариативность, изменчивость - одно из фундаментальных свойств нашего мира. Все в нем находится в постоянном движении, развитии, циклическом обновлении.

Таким образом, вариация является проявлением общего принципа изменчивости, заложенного в основу мироздания.

Вариации в искусстве

Вариация широко используется как художественный прием в литературе, живописи, кинематографе. Это позволяет по-новому взглянуть на тему, раскрыть дополнительные грани.

Например, один сюжет может быть представлен в разных интерпретациях, с варьированием деталей, нюансов, ракурса повествования.