Ортонормированный базис векторов: понятие, матрица, нюансы

Ортонормированный базис широко используется в линейной алгебре, функциональном анализе и других областях математики. Рассмотрим подробнее, что это такое и в чем его преимущества.

Определение ортонормированного базиса

Ортонормированный базис - это базис векторного пространства, обладающий двумя свойствами:

1. Ортогональность - скалярное произведение любых двух различных векторов базиса равно нулю.
2. Нормированность - каждый базисный вектор имеет единичную длину (норму).

Формально эти свойства записываются так:

• Для любых i ≠ j выполнено (e_i, e_j) = 0
• Для любого i выполнено ||e_i|| = 1

где e₁, ..., e_n - векторы ортонормированного базиса.

Почему используется ортонормированный базис

Ортонормированный базис применяется в линейной алгебре и других разделах математики по нескольким причинам:

1. Упрощаются вычисления скалярных произведений векторов.
2. Проще находить координаты и разложения векторов.
3. Удобно проводить ортогональные преобразования базиса.

Рассмотрим подробнее каждое из этих преимуществ.

Вычисление скалярных произведений

Для векторов x и y, заданных координатами в ортонормированном базисе {e₁,...,e_n}, их скалярное произведение имеет простой вид:

(x,y) = x₁y₁ + ... + x_ny_n

Это следует из ортогональности базиса и равенства скалярного произведения базисного вектора самому себе единице.

Нахождение координат и разложений

В ортонормированном базисе векторов для нахождения координат вектора a достаточно взять скалярные произведения этого вектора с базисными:

a_i = (a, e_i)

А разложение вектора по базису имеет вид:

a = a₁e₁ + ... + a_ne_n

Преобразования координат

Пусть задан переход между двумя ортонормированными базисами. Тогда матрица ортонормированного базиса перехода является ортогональной. Это важное и полезное свойство, упрощающее вычисления.

Например, норма вектора не меняется при преобразовании к ортонормированному базису. А применение ортогональной матрицы сохраняет скалярное произведение векторов.

Примеры применения

Рассмотрим несколько примеров, где ортонормированный базис оказывается удобным.

Ряды в функциональном анализе

В функциональном анализе широко используются тригонометрические ортонормированные базисы. Например, базис {1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), ...} позволяет разложить периодическую функцию в ряд по ортогональным функциям.

Квантовая механика

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается волновой функцией. Множество возможных волновых функций образует гильбертово пространство, для которого всегда можно подобрать ортонормированный базис.

Например, для частицы в одномерной потенциальной яме таким базисом будут волновые функции стационарных состояний ψ₁(x), ψ₂(x), .... Они ортогональны и нормированы:

∫ψ_n(x)ψ_m(x)dx = δ_nm

Машинное обучение

В задачах классификации объектов часто используется метод опорных векторов (SVM). Для построения разделяющей гиперплоскости SVM использует ортонормированный базис в пространстве признаков объектов.

Недостатки ортонормированного базиса

Несмотря на многочисленные достоинства, у ортонормированных базисов есть и некоторые недостатки:

• Не всегда удается его эффективно построить для конкретного пространства.
• Иногда другие базисы могут обеспечить более компактное представление векторов и функций.
• Вычислительная сложность ортогонализации произвольного базиса зачастую высока.

Поэтому в некоторых приложениях все же приходится использовать неортогональные базисы, несмотря на менее удобные вычисления.

Тем не менее, там где это возможно, ортонормированные базисы предпочтительны. Их свойства позволяют значительно упростить многие выкладки и расчеты.

Применение в обработке сигналов

Ортонормированные базисы часто используются в задачах цифровой обработки сигналов и изображений. Например, широко известно дискретное преобразование Фурье, которое позволяет разложить сигнал по ортонормированному базису из комплексных экспонент.

Преимущества здесь те же, что и в других случаях: упрощаются вычисления, можно выделять полезные составляющие сигнала, подавлять шумы и т.д. Также вейвлет-преобразование использует специальный ортонормированный базис вейвлет-функций.

Сжатие изображений

Многие методы сжатия изображений, такие как JPEG, основаны на разложении изображения в ортонормированный базис и последующем квантовании и энтропийном кодировании коэффициентов. За счет этого достигается существенное уменьшение объема данных при небольших искажениях изображения.

Обработка речи

В задачах распознавания и синтеза речи также применяется преобразование сигнала в ортонормированный базис. Это позволяет выделять характерные частотные составляющие речевого сигнала, необходимые для распознавания фонем и слов.

Применение в физике

В физических приложениях ортонормированные базисы позволяют упростить решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение сложных систем.

Теория колебаний

Рассмотрим колебательную систему с многими степенями свободы. Ее движение описывается системой дифуравнений, которые можно значительно упростить, перейдя к нормальным модам колебаний. Эти моды образуют ортонормированный базис, в котором матрица системы принимает диагональный вид.

Квантовая механика

В квантовой механике, как отмечалось ранее, состояния квантовой системы задаются волновыми функциями, которые могут быть разложены в ортонормированный базис. Это позволяет решать уравнение Шредингера, описывающее эволюцию квантовых систем.

Обобщения ортонормированного базиса

Существуют обобщения понятия ортонормированного базиса на более абстрактные математические объекты:

Ортонормированные системы функций

В функциональном анализе рассматриваются ортонормированные системы функций, не обязательно образующие базис. Пример - система вейвлет-функций в L2(R).

Ортонормированные рамки

Еще более общим является понятие ортонормированной рамки - системы векторов гильбертова пространства, удовлетворяющей условиям ортонормированности, но неполноты.