Закон полного тока - это фундаментальный закон электромагнетизма

Закон полного тока является одним из фундаментальных законов электромагнетизма. Он устанавливает количественную связь между магнитным полем и электрическим током, его породившим.

Формулировка закона полного тока

В общем виде закон полного тока формулируется следующим образом:

Циркуляция вектора магнитной индукции B по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов I, охваченных этим контуром:

∮B·dl = μ₀·∑I

Здесь ∮ означает интегрирование (циркуляцию) вектора B по замкнутому контуру L. Токи, направленные согласно обходу контура, считаются положительными. Токи противоположного направления – отрицательными.

Вывод закона полного тока

Закон полного тока можно вывести, исходя из закона Био-Савара-Лапласа. Рассмотрим бесконечно длинный прямолинейный проводник с током I. Вокруг него существует магнитное поле:

B = (μ₀/2π)·I/r

Где r – расстояние до проводника. Возьмем вокруг проводника замкнутый контур L и применим к нему теорему Стокса:

∮B⃗ ·dl⃗=∫∫[rotB⃗ ]·dS⃗

Так как магнитное поле проводника не имеет вихрей (rotB = 0), то:

∮B⃗ ·dl⃗=0

C другой стороны, подставляя выражение для B:

∮B⃗ ·dl⃗=(μ₀/2π)·I∮(1/r)dl

Величина ∮(1/r)dl представляет собой полный угол охвата контуром L проводника, равный 2π. Тогда:

∮B⃗ ·dl⃗=μ₀·I

Это и есть математическая формулировка закона полного тока для одного проводника. Результат обобщается на произвольное число проводников с током, пересекающих контур L.

Применение закона полного тока

Закон полного тока широко используется при расчетах магнитных цепей и электромагнитных устройств. С его помощью можно найти:

• Магнитный поток в катушке с током
• Индуктивность катушки
• Взаимную индуктивность между двумя катушками

Кроме того, на основе закона полного тока выводится закон электромагнитной индукции и закон самоиндукции. Таким образом, это один из краеугольных камней всей теории электромагнетизма.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе

В веществе вместо магнитной постоянной μ0 в закон полного тока входит абсолютная магнитная проницаемость среды μ:

∮B⃗ ·dl⃗=μ·∑I

Это связано с тем, что вещество по-разному пропускает магнитный поток. Для вакуума магнитная проницаемость равна μ0, для других материалов она может существенно отличаться.

Например, для ферромагнетиков μ может быть в тысячи раз больше μ0. Это приводит к резкому возрастанию магнитного поля внутри вещества по сравнению с вакуумом при одних и тех же токах.

Закон полного тока Ампера

Иногда закон полного тока называют законом Ампера, по имени французского физика Андре-Мари Ампера. Однако сам Ампер сформулировал этот закон несколько иначе, чем принято сейчас.

В оригинальной формулировке Ампера речь шла не о циркуляции вектора магнитной индукции B, а о циркуляции напряженности магнитного поля H (которую он называл "магнитным потенциалом").

Только позже было показано, что в вакууме векторы B и H пропорциональны друг другу: B = μ0H. Поэтому обе формулировки закона эквивалентны.

Магнитное поле тороидальной катушки

Рассмотрим применение закона полного тока для расчета магнитного поля внутри тороидальной катушки (катушки намотанной на тороидальный сердечник). Пусть по обмотке катушки с N витками протекает ток I. Возьмем замкнутый контур, проходящий по сечению тороида.

Внутри этого контура находится часть магнитного потока катушки. Применим закон полного тока:

∮B⃗ ·dl⃗ = μ·N·I

Где μ - магнитная проницаемость материала тороидального сердечника. Поскольку вектор B внутри сердечника направлен по касательной к контуру, а длина контура равна 2πR (R - радиус тороида), то:

B·2πR = μ·N·I

Отсюда находим выражение для магнитной индукции внутри тороидальной катушки:

B = (μ·N·I)/(2πR)

Индуктивность катушки

С помощью закона полного тока можно также найти индуктивность катушки. По определению, индуктивность катушки численно равна магнитному потоку через один ее виток, создаваемому единичным током в этой катушке:

L = Φ/I

Магнитный поток через виток Φ связан с магнитной индукцией соотношением:

Φ = B·S

Где S - площадь контура (поперечное сечение катушки). Подставляя найденное выше значение B для катушки с N витками и током I, получаем:

L = (μ·N·S)/(2πR)

Взаимная индуктивность

Закон полного тока позволяет также рассчитать взаимную индуктивность между двумя катушками. Пусть имеется катушка 1 с N₁ витков и катушка 2 с N₂ витками. Найдем магнитный поток Φ₂₁, создаваемый катушкой 1 через один виток катушки 2 при токе в катушке 1, равном 1 А.

Для этого применим закон полного тока к замкнутому контуру, охватывающему один виток катушки 2. Тогда:

∮B₁⃗ ·dl⃗ = μ·N₁·I₁

Где B₁ - магнитная индукция от катушки 1. Для единичного тока I₁ = 1 А:

∮B₁⃗ ·dl⃗ = μ·N₁

Эта циркуляция как раз и представляет собой поток через виток катушки 2. Тогда взаимная индуктивность:

M = ∮B₁⃗ ·dl⃗/I₁ = μ·N₁

Проявления закона полного тока

Хотя закон полного тока имеет довольно абстрактный математический вид, его проявления наблюдаются повсеместно. Например, компас отклоняется около провода с током именно благодаря действию закона полного тока. Магнитное поле проводника замыкается вокруг него, охватывая иглу компаса.

Еще одним примером служит соленоид - катушка с железным сердечником. Согласно закону полного тока, внутри такой катушки образуется сильное магнитное поле, направленное вдоль оси соленоида. Это свойство используется в электромагнитах, реле и других устройствах.

Аналогии с другими физическими законами

Математически закон полного тока напоминает закон Гаусса в электростатике. Закон Гаусса связывает поток электрического поля через замкнутую поверхность с зарядом, охваченным этой поверхностью. Аналогично, закон полного тока связывает поток магнитного поля (циркуляцию вектора B) с охваченным током.

Еще одна аналогия - с законом Био-Савара-Лапласа, который позволяет вычислять магнитное поле отдельных элементов контура с током. А закон полного тока, по сути, представляет собой интегральную форму этого закона для всего контура целиком.