Диагонали трапеции, медиана, биссектриса и основания

Трапеция является распространенной геометрической фигурой, обладающей рядом интересных и полезных свойств. В этой статье мы подробно рассмотрим основные свойства трапеции и научимся применять их при решении задач.

Определение трапеции

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны - боковыми сторонами.

На рисунке изображена трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Боковыми сторонами являются отрезки AB и CD.

диагонали трапеции

Рассмотрим одно из важнейших свойств диагоналей трапеции - их пересечение разбивает трапецию на четыре треугольника:

• Два треугольника с общей стороной, равной боковой стороне трапеции, имеют равные площади
• Два других треугольника с общей стороной, равной основанию трапеции, подобны

Это важное свойство диагоналей трапеции широко используется при вычислении площади трапеции и решении других задач.

Замечательная точка трапеции

Любая трапеция обладает еще одним удивительным свойством:

Середины ее оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Эту прямую называют "замечательной прямой трапеции". На рисунке эта прямая выделена пунктиром:

Свойства равнобокой трапеции

Если в трапеции боковые стороны равны, то такая трапеция называется равнобокой. У нее есть несколько дополнительных свойств:

1. Углы при основании равнобокой трапеции равны
2. Прямая, проходящая через середины оснований, является осью симметрии трапеции
3. диагонали трапеции в равнобокой трапеции равны

При решении задач эти свойства помогают доказать, что трапеция является равнобокой, если известно равенство ее диагоналей или углов при основании.

Формулы площади трапеции

Площадь трапеции можно найти по нескольким формулам, используя различные элементы:

• S = ((a + b) / 2) * h
• S = a * h, где a - средняя линия трапеции
• S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), где a,b,c,p - стороны трапеции

Подробно формулы рассмотрены в отдельной статье.

Таким образом, трапеция обладает множеством полезных свойств, знание которых позволяет эффективно решать задачи с ее участием. В частности:

• диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника с известными свойствами
• Характерные точки трапеции лежат на одной прямой
• Равнобокие трапеции обладают дополнительными свойствами
• Существует несколько формул для вычисления площади

В дальнейших статьях мы еще подробнее рассмотрим применение свойств трапеций при решении геометрических задач.

Вычисление элементов трапеции

Зная свойства трапеции, можно вычислять длины ее элементов - сторон, диагоналей, медиан, биссектрис и так далее. Рассмотрим несколько примеров.

Вычисление диагонали

Если известны длины оснований a и b и боковой стороны c равнобокой трапеции, то по формуле $d^2 = c^2 + ab$ можно найти длину диагонали d. То есть в точке пересечения диагонали трапеции пересекаются, зная длины других элементов трапеции, мы можем вычислить длину самих диагоналей.

Вычисление сторон и углов

Используя свойства подобия треугольников, образованных при пересечении диагоналей трапеции, а также свойства биссектрисы, медианы и высоты, можно выразить стороны и углы трапеции через другие ее элементы.

Особенно часто приходится вычислять координаты точки пересечения диагоналей или продолжений сторон трапеции. Зная, что эта точка лежит на "замечательной прямой трапеции", можно составить и решить систему уравнений.

Построение трапеции

При решении геометрических задач бывает необходимо построить трапецию по известным параметрам. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, используя свойства трапеции.

Построение равнобокой трапеции

Для построения равнобокой трапеции достаточно задать длину основания, боковой стороны и одного из углов. Строится так:

1. Строится одна боковая сторона
2. Строится угол при вершине
3. Строятся основания через параллельность сторон

Применение свойств трапеции при решении задач

Рассмотрим несколько типов задач, в которых используются свойства трапеций.

Задачи на вычисление площади

Часто при решении задач требуется найти площадь трапеции, зная длины некоторых ее элементов - сторон, медиан, высот, диагоналей. В таких случаях используют различные формулы площади трапеции, рассмотренные ранее.

Задачи на доказательство равенства элементов

С помощью свойств диагоналей и характерных точек трапеции можно доказывать равенство ее сторон или углов. Например, равенство диагоналей доказывает, что трапеция равнобокая.

Задачи на построение

Используя линейку и циркуль, можно выполнять построение трапеции по известным элементам. Например, построить равнобокую трапецию по двум сторонам и углу между ними.

Задачи с применением подобия

Подобие треугольников, на которые диагонали делят трапецию, помогает найти соотношения между сторонами или вычислить углы.

Задачи на вычисление координат точек

"Замечательная прямая трапеции" и факт конкуренции ее диагоналей используется при вычислении координат характерных точек или построении этой прямой.

Задачи на применение формул площади трапеции

Рассмотрим несколько примеров задач на вычисление площади трапеции с использованием различных формул.

Формула через основания и высоту

Если известны длины оснований a и b и высоты h, опущенной на большее основание, можно использовать формулу: S = (a + b) * h / 2

Формула через стороны и угол

Даны стороны a, b, c и угол α между a и b. Тогда: S = (a * b * sinα) / 2

Формула Герона

Для вычисления площади трапеции по известным длинам всех ее сторон a, b, c, d можно применить обобщенную формулу Герона: S = √(p - a) * (p - b) * (p - c) * (p - d)

Другие задачи

Аналогично можно подбирать и применять нужную формулу площади трапеции в зависимости от данных конкретной задачи - средней линии, диагоналей, радиусов вписанной или описанной окружности и так далее.

Задачи на доказательство свойств трапеции

Часто требуется строго доказать, что трапеция обладает некоторыми свойствами - является равнобокой, имеет равные углы или равные диагонали. Рассмотрим применение известных признаков.