Правило Верещагина: определение, примеры

Правило Верещагина, также известное как способ перемножения эпюр, широко используется в строительной механике для определения перемещений (прогибов, углов поворота) поперечных сечений балок и рам при изгибе. Это правило позволяет упростить вычисление интеграла Мора путем замены интегрирования на перемножение площадей соответствующих эпюр.

Сущность правила Верещагина

В основе правила Верещагина лежит формула для определения прогиба поперечного сечения балки от изгибающего момента, выведенная профессором Мором:

где:

• δ - прогиб поперечного сечения балки;
• M(x) - эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки;
• M1(x) - эпюра изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в точке, где определяется прогиб;
• EI - изгибная жесткость балки;
• L - длина балки.

"Правило Верещагина" заключается в том, что вместо интегрирования производится перемножение площади Ω эпюры M(x) на ординату yc эпюры M1(x), взятую под центром тяжести площади Ω.

Порядок применения правила Верещагина

Для определения перемещения поперечного сечения балки по правилу Верещагина необходимо:

1. Построить эпюру изгибающих моментов M(x) от всех внешних нагрузок - грузовую эпюру.
2. Удалить все внешние нагрузки и приложить в рассматриваемом сечении единичную силу для определения прогиба или единичный момент для определения угла поворота.
3. Построить эпюру изгибающих моментов M1(x) от единичной нагрузки - единичную эпюру.
4. Перемножить площадь Ω грузовой эпюры M(x) на ординату yc единичной эпюры M1(x), взятую под центром тяжести площади Ω.
5. Разделить полученное произведение на жесткость EI.

Таким образом, формула для определения перемещения запишется:

где Ω - площадь эпюры M(x); yc - ордината эпюры M1(x) под центром тяжести площади Ω.

"Правило Верещагина" перемножение эпюр

Процесс нахождения произведения Ω·yc часто называют "перемножением эпюр" - отсюда и название данного правила. При перемножении эпюр важно учитывать их знаки:

• Если эпюры M(x) и M1(x) расположены по одну сторону от оси ординат, их произведение берется со знаком "+"
• Если эпюры расположены по разные стороны от оси ординат - со знаком "-"

Таким образом контролируется знак конечного результата - положительный знак соответствует выпуклости прогиба вниз, отрицательный - выпуклости вверх.

Применение правила Верещагина

"Правило Верещагина" применимо при выполнении следующих условий:

• Балка имеет постоянную или кусочно-постоянную изгибную жесткость EI
• Эпюра M1(x) от единичной нагрузки является прямолинейной

При этом грузовая эпюра M(x) может иметь любое очертание. Для упрощения ее часто представляют в виде суммы простейших фигур, для которых известно положение центра тяжести.

"Правило Верещагина" позволяет быстро определить перемещения в балках при статически определимой системе нагрузок без необходимости интегрирования. Это делает его очень удобным инструментом при практических расчетах элементов строительных конструкций.

Ниже приведены примеры применения "правила Верещагина" для определения прогиба и угла поворота поперечного сечения балки.

"Правило Мора - Верещагина" на примере

Рассмотрим консольную балку, загруженную сосредоточенной силой F = 10 кН и равномерно распределенной нагрузкой q = 2 кН/м (Рис. 1). Требуется определить прогиб δ в сечении балки с координатой x = 2 м. Материал балки - сталь с модулем упругости E = 2∙105 МПа. Момент инерции сечения I = 40∙10-6 м4.

Рис. 1. Схема загружения консольной балки

1. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов M(x) от всех внешних нагрузок (Рис. 2).
2. Удаляем все внешние нагрузки. Прикладываем в сечении x = 2 м единичную силу для определения прогиба. Строим единичную эпюру M1(x) (Рис. 3).
3. Находим площадь грузовой эпюры Ω = 4 кН∙м.
4. Определяем ординату единичной эпюры в точке центра тяжести грузовой эпюры: yc = 0,5 м.
5. Перемножаем найденные значения: Ω∙yc = 4 кН∙м ∙ 0,5 м = 2 кН∙м2.
6. Делим произведение на жесткость: (2 кН∙м2) / (2∙105 кН∙м2) = 10-5 м = 0,01 мм.

Ответ: прогиб поперечного сечения балки в точке х = 2 м равен 0,01 мм.

Рис. 2. Грузовая эпюра M(x)

Рис. 3. Единичная эпюра M1(x)

Аналогично можно определить угол поворота или другие перемещения поперечного сечения. Таким образом, применение "правила Верещагина" позволяет быстро и наглядно вычислить необходимые характеристики изгибаемых элементов.

Достоинства и недостатки правила Верещагина

К достоинствам "правила Верещагина" можно отнести:

• Простота и наглядность расчета по сравнению с интегрированием
• Высокая скорость получения результата
• Возможность определения перемещений в статически неопределимых системах
• Учет знака перемещения при перемножении эпюр

Однако у этого правила есть и некоторые ограничения:

• Применимо только для балок с постоянной или кусочно-постоянной жесткостью
• Требует построения дополнительной единичной эпюры M1(x)
• При большом количестве нагрузок грузовая эпюра может быть громоздкой

Сравнение правила Верещагина с методом Мора

Правило Верещагина является упрощенной модификацией метода Мора, в котором вместо интегрирования используется перемножение эпюр. По сравнению с методом Мора у правила Верещагина есть ряд отличий:

• Не требуется составлять подынтегральное выражение и выполнять интегрирование
• Результат можно получить быстрее за счет перемножения площадей
• Менее универсален - применим только при выполнении определенных условий

Таким образом, при соблюдении необходимых условий правило Верещагина является более быстрым и наглядным способом расчета перемещений. Однако в общем случае все же приходится использовать метод Мора.

Автоматизация расчетов по правилу Верещагина

Расчет перемещений в балках и рамах по правилу Верещагина включает ряд рутинных операций, таких как:

• Построение эпюр изгибающих моментов
• Определение площадей и центров тяжести эпюр
• Перемножение и деление значений

Выполнение этих операций вручную занимает много времени и подвержено ошибкам. Поэтому целесообразно автоматизировать расчеты с помощью специализированного программного обеспечения.

Современные программы для расчета строительных конструкций, такие как ЛИРА, SCAD, Robot и другие, позволяют автоматически строить эпюры внутренних усилий, находить их характеристики, перемножать и выводить результат - перемещение в заданной точке. Это существенно ускоряет процесс проектирования и повышает точность расчетов.

Перспективы развития правила Верещагина

Несмотря на достаточно длительную историю, правило Верещагина не потеряло своей актуальности и продолжает совершенствоваться. Основные направления развития включают:

• Расширение области применения на нелинейные и нестационарные задачи
• Адаптация под новые типы строительных конструкций и материалов
• Разработка усовершенствованных численных методов реализации
• Интеграция в специализированное программное обеспечение

Реализация этих направлений позволит сделать правило Верещагина еще более гибким, точным и эффективным инструментом для расчета перемещений в будущем.

Обобщение правила Верещагина на пространственные системы

Классическое правило Верещагина разработано для плоских стержневых систем – балок и рам. Однако конструкции реальных зданий и сооружений имеют, как правило, пространственный характер – фермы, арки, купола и т.д.

Для расчета перемещений в пространственных стержневых системах было предложено обобщенное правило Верещагина, учитывающее дополнительные степени свободы. При этом сохраняется основной принцип – замена интегрирования перемножением эпюр усилий и геометрических характеристик сечений.

Численная реализация правила Верещагина

Помимо аналитических методов, правило Верещагина может быть реализовано численно с использованием ЭВМ. Преимуществом численных методов является возможность моделирования конструкций произвольной геометрической формы и нагружения.

Для этого конструкция разбивается на конечные элементы, в узлах которых записываются уравнения равновесия. Эпюры внутренних усилий вычисляются численно в каждом сечении, после чего применяется правило Верещагина для нахождения перемещений.

Вычислительные алгоритмы правила Верещагина

Для эффективной программной реализации правила Верещагина применяются специальные вычислительные алгоритмы, позволяющие оптимизировать скорость получения результата. К ним относятся:

• Алгоритмы параллельных вычислений для одновременной обработки нескольких сечений
• Метод квадратур для приближенного вычисления интегралов при неравномерных сетках
• Алгоритмы динамического программирования для построения оптимальной последовательности этапов расчета

Применение правила Верещагина в смежных областях

Помимо строительной механики, идеи правила Верещагина нашли применение и в смежных дисциплинах – теории упругости, сопротивлении материалов, машиностроении. Например, аналог правила используется в расчетах напряженно-деформированного состояния сложных механических систем.

Кроме того, по аналогии с правилом Верещагина был разработан метод суперпозиции для определения электрических и магнитных полей. Это свидетельствует об универсальности основной идеи данного метода.