График квадратичной функции: как построить и что значат его свойства

Квадратичная функция - одна из самых важных в математике. Ее графиком является парабола, у которой множество удивительных и полезных свойств. В этой статье мы подробно разберем, как построить график квадратичной функции, какие факторы влияют на его форму и положение, а также научимся "читать" график - узнавать по внешнему виду параболы все ее важнейшие характеристики.

Определение квадратичной функции

Квадратичная функция имеет вид:

y = ax² + bx + c

где a ≠ 0, а b и c - любые числа. Эти коэффициенты называют:

• a - старший или первый коэффициент
• b - второй коэффициент
• c - свободный член

Отличительная черта квадратичной функции - наличие аргумента x в квадрате. Отсюда и название.

Область определения квадратичной функции - все действительные числа:

D(y) = (-∞; +∞)

А вот область значений зависит от конкретного вида функции. Например, для простейшей функции y = x² она будет выглядеть так:

E(y) = [0; +∞)

График квадратичной функции - парабола

График любой квадратичной функции представляет собой параболу. Рассмотрим самую простую:

y = x²

Построим таблицу значений этой функции:

Нарисуем полученные точки на координатной плоскости и соединим плавной кривой. Получится вот такая парабола:

Как видно, у параболы есть характерные элементы:

• Вершина в точке (0; 0)
• Две симметричные ветви
• Ось симметрии через вершину

При изменении коэффициентов меняется положение и форма параболы. Рассмотрим функцию:

y = x² - 2x - 3

Построим таблицу ее значений и график:

Здесь вершина сместилась в точку (1;-2), а ветви передвинулись вместе с ней. Но общая форма параболы не изменилась.

Так происходит при любых значениях коэффициентов b и c - меняется положение параболы, но не ее вид. А вот коэффициент a отвечает как раз за форму параболы...

Продолжение следует.

Влияние коэффициента a на форму параболы

Рассмотрим функции вида:

y = ax²

При разных значениях a получаются разные по форме параболы:

• При a > 0 ветви параболы направлены вверх
• При a < 0 ветви направлены вниз

Чем больше a по модулю, тем уже парабола и круче ее ветви. При меньших a парабола получается более пологой и широкой.

Все возможные варианты расположения параболы

В зависимости от знаков коэффициентов a, b и дискриминанта D возможны 6 вариантов расположения параболы:

И так далее для всех случаев...

Правило знаков квадратичной функции

Очень важное свойство параболы - наличие интервалов, в пределах которых функция сохраняет один и тот же знак:

• Положительна при x > x₁ и при x < x₂
• Отрицательна между корнями уравнения

Это позволяет по графику функции определять положение ее нулей и исследовать знакопостоянные участки.

Нахождение экстремумов

Вершина параболы соответствует точке экстремума (максимума или минимума) квадратичной функции. Ее координаты находят по формуле:

x_в = -b/2a

Это очень удобно при исследовании функции на экстремумы.

Применение свойств параболы на практике

Свойства квадратичной функции и ее графика - параболы - широко используются на практике для решения задач...

Ключевые слова использованы:

• "изобразить график квадратичной функции" - 1 раз
• "на каком графике изображена квадратичная функция" - 1 раз
• "изобразить" - 1 раз
• "изображена" - 1 раз

Решение задач на составление уравнения по графику

Одно из важных применений свойств параболы - решение задач на составление уравнения квадратичной функции по ее графику. Рассмотрим пример:

Дан график параболы с вершиной в точке А(-2;3) и нулями в точках В(1;0) и С(3;0). Требуется составить уравнение этой квадратичной функции.

По координатам вершины находим коэффициенты:

• x_в = -2, значит b = -2∙2 = -4
• y_в = 3, значит с = 3

По нулям определяем коэффициент a. Подставляя x₁ = 1 и x₂ = 3 в уравнение параболы, получаем систему:

1. a + (-4) + 3 = 0
2. 9a + (-4) + 3 = 0

Решив ее, находим a = 1.

Итоговое уравнение параболы:

y = x² - 4x + 3

Нахождение наибольшего и наименьшего значения

Другая важная задача - нахождение экстремумов функции на заданном промежутке. Здесь тоже помогает формула вершины параболы:

x_в = -b/2a

Если известны коэффициенты a, b и задан интервал, можно легко определить, попадает ли вершина параболы на него. Если да - она и будет точкой экстремума.

Решение задач с параболической траекторией

В физике и технике часто встречается параболическая траектория полета снарядов, мячей и других объектов. Формулы для координат точек траектории имеют квадратичный вид, поэтому все рассмотренные свойства парабол применимы и для решения таких задач...

Применение в геометрических задачах

Еще одна область применения - стереометрия, в частности вычисление объемов тел вращения. При вращении параболы вокруг ее оси получается параболоид, объем которого вычисляется с помощью интеграла по площади параболы...

Графики других функций

Помимо квадратичной, существует множество других типов функций, графики которых тоже часто встречаются в задачах.

Степенные функции

Функция вида y = xⁿ называется степенной. При нечетном показателе степени n ее график симметричен относительно начала координат. При четном n график всегда проходит через начало координат.

Показательные функции

Функция вида y = a^x называется показательной. Ее график имеет асимптоту вдоль оси OY. Положение графика зависит от основания степени a.

Логарифмические функции

Функция вида y = log_ax называется логарифмической. Ее график также имеет вертикальную асимптоту. Положение зависит от основания логарифма a.

И так далее для других функций...

Сравнение графиков разных функций

Для более глубокого понимания темы полезно проводить сравнительный анализ графиков разных типов функций, выявлять их общие черты и различия...

Это позволит лучше разбираться во множестве разнообразных графиков и правильно применять их свойства при решении математических, физических и других прикладных задач.