Декартова система координат на плоскости

Системы координат являются важнейшим инструментом в математике и других точных науках. Они позволяют устанавливать взаимно однозначное соответствие между точками на плоскости или в пространстве и наборами чисел - координатами этих точек. Благодаря этому, изучение сложных геометрических объектов сводится к более простому исследованию алгебраических уравнений.

Понятие декартовой системы координат на плоскости

Одной из основных систем координат является прямоугольная или декартова система координат. Она была введена в научный оборот французским математиком и философом Рене Декартом в XVII веке, поэтому часто именуется в его честь.

Декартова система координат на плоскости задается с помощью:

• Двух взаимно перпендикулярных прямых - координатных осей OX и OY
• Точки их пересечения O, называемой началом координат
• Единичных отрезков на осях, задающих масштаб
• Указания положительного направления на каждой из осей

Координатные оси разделяют плоскость на 4 области - координатные четверти, которые принято обозначать римскими цифрами I, II, III и IV.

Координаты точки на плоскости

Чтобы однозначно определить положение некоторой точки M на координатной плоскости, ей сопоставляется упорядоченная пара чисел - ее координаты (x, y). Эта процедура называется заданием координат точки.

Координаты находят следующим образом:

1. Из точки M опускают перпендикуляры на оси координат
2. Длину проекции на ось OX обозначают x, на ось OY - y
3. Знаки координат выбираются в зависимости от направления осей и положения точки относительно начала координат

Например, для точки A(2; 3) абсцисса x=2 положительна, так как точка лежит правее начала координат, а ордината y=3 положительна, поскольку точка расположена выше начала координат.

Задание координат широко применяется в географии для определения положения географических объектов, в транспорте - для навигации, в шахматах и других сферах.

Построение точки по заданным координатам

Чтобы построить на координатной плоскости точку по известным координатам (x; y), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Ввести систему координат с осями OX и OY, началом координат в точке O
2. Отложить на оси OX отрезок длиной, равной абсциссе x искомой точки
3. Отложить на оси OY отрезок длиной, равной ординате y искомой точки
4. Через полученные точки на осях провести перпендикуляры друг к другу
5. Точка пересечения этих перпендикуляров и будет искомой точкой с координатами (x; y)

Данный алгоритм позволяет строить точки в любой из четырех координатных четвертей, в зависимости от знаков заданных координат x и y.

Представление отрезков и других фигур при помощи координат

Зная координаты концевых точек отрезка, можно легко вычислить его длину по формуле:

где (x1; y1) и (x2; y2) - координаты концов отрезка.

Аналогично, при помощи координат можно задавать на плоскости векторы, треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, а также вычислять их параметры (длины, углы, площади и т.д.).

Связь между различными системами координат

Помимо декартовой, существует и другая распространенная система координат на плоскости - полярная система координат. В ней положение точки задается полярным радиусом r и полярным углом φ.

Связь между декартовыми (x; y) и полярными (r; φ) координатами дается формулами:

Зная координаты в одной системе, по этим формулам всегда можно найти соответствующие координаты точки в другой системе.

Аналитическое задание линий при помощи уравнений

В декартовых координатах прямую линию можно задать уравнением первой степени:

А окружность радиуса R с центром в начале координат - уравнением:

Подобным образом, вводятся уравнения эллипса, гиперболы, параболы и других плоских кривых.

Применение декартовой системы координат в решении задач

Декартова система координат является мощным инструментом для решения множества геометрических задач на плоскости. Рассмотрим несколько примеров.

Задачи на вычисление расстояний, длин отрезков, площадей фигур

Имея координаты точек, можно вычислить:

• Расстояние между двумя точками по формуле, приведенной ранее
• Длину отрезка по той же формуле через координаты его концов
• Периметр многоугольника как сумму длин его сторон
• Площадь треугольника по формуле Герона, используя длины его сторон

Графические задачи на построение фигур

По заданным координатам вершин можно строить многоугольники, окружности с известным центром и радиусом, а также другие фигуры на координатной плоскости.

Задачи на принадлежность точки заданной кривой

Имея уравнение кривой, например окружности или эллипса, можно проверить, принадлежит ли ей точка с заданными координатами. Для этого подставляют координаты точки в уравнение вместо переменных x и y и анализируют выполнимость полученного равенства или неравенства.

Различные обобщения декартовой системы координат

Существует множество обобщений декартовой системы координат на плоскости, в том числе:

• Системы координат в многомерных пространствах
• Криволинейные (например, цилиндрические или сферические) системы координат
• Системы координат с неортогональными осями
• Системы отсчета и референции в классической и релятивистской механике

Все эти системы базируются на фундаментальной идее установления взаимно однозначного соответствия между точками пространства и наборами чисел, заложенной еще Рене Декартом.

Прямоугольная система координат как частный случай декартовой

В общем случае, декартовой системой координат называют систему с пересекающимися под произвольным углом осями координат. Частным случаем является прямоугольная или ортогональная декартова система, в которой оси взаимно перпендикулярны.

Обобщение на многомерный случай

Декартову систему координат можно обобщить на многомерное пространство. Тогда каждая точка задается упорядоченным набором координат (x1, x2, ..., xn), а координатные оси образуют ортогональный базис.

Криволинейные обобщения

В криволинейных декартовых системах координатных оси представляют собой кривые линии, например дуги окружностей или винтовые линии. Применяются в задачах со сложной геометрией.

Связь с векторным исчислением

Координаты точки можно рассматривать как коэффициенты разложения радиус-вектора этой точки по базису координатных осей. Это позволяет использовать аппарат векторной алгебры.

Аффинные обобщения

В аффинной системе координат оси могут быть направлены в произвольные стороны и иметь разные масштабы. Сохраняется параллельность осей.

Обобщения в теоретической физике

В релятивистской механике используется понятие системы отсчета со своими осями координат и временем. А в квантовой механике вводится многомерное гильбертово пространство состояний.

Выводы

В статье подробно рассмотрена декартова система координат на плоскости, введенная великим французским математиком и философом Рене Декартом. Обсуждено понятие координат точки, алгоритмы построения точки по ее координатам и нахождения координат по заданной точке. Приведены различные применения декартовой системы координат при решении геометрических задач на вычисление расстояний, длин, площадей. Также рассмотрены связи и переходы между декартовой и полярной системами координат.