Свойства степеней с рациональным показателем: формулы и применение

Автор Маруся Кот December 15, 2023

Степени с дробными показателями широко используются в различных областях математики, физики, химии и других точных науках. Их применение позволяет решать многие практические задачи. Давайте разберемся с определением степеней такого вида и изучим их удивительные свойства.

Определение степени с рациональным показателем

Рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби p/q, где p и q - целые числа. Тогда степень с рациональным положительным показателем определяется следующим образом:

Определение. Степень a^p/q, показатель которой есть положительное рациональное число p/q, определяется по формуле:
a^p/q = √q√a^p

А для отрицательного рационального показателя формула выглядит так:

Определение. Степень a^-p/q, показатель которой есть отрицательное рациональное число -p/q, определяется по формуле:
a^-p/q = 1 / (√q√a^p)

А для нулевого показателя, как и в случае с натуральными степенями, имеем:

Определение. Степень с нулевым показателем:
a⁰ = 1

Таким образом, используя свойства арифметического корня, мы можем степень с рациональным показателем представить в виде корня и наоборот. Рассмотрим пример:

Пример. Представим степень в виде корня:
2^3/4 = √4√2³ = √4√8 = 2

Основные свойства степеней с рациональным показателем

Для степеней вида a^p/q, где a - положительное число, а p/q - рациональное число, справедливы следующие свойства:

a^p/q * a^m/n = a^{(p/q + m/n)} (умножение степеней с одинаковыми основаниями)
a^p/q / a^m/n = a^{(p/q - m/n)} (деление степеней с одинаковыми основаниями)
(a^p/q)^m/n = a^{(p/q) * (m/n}⁾ (возведение степени в степень)

Эти свойства полностью аналогичны свойствам для степеней с натуральным показателем. Давайте рассмотрим их применение на примере:

Пример. Упростим выражение, используя свойства степеней:
x^2/3 * x^3/4 / x^1/2 = ?
Решение:
Применим свойства (1) и (2):
x^2/3 * x^3/4 = x^{(2/3 + 3/4)} = x^7/12
x^7/12 / x^1/2 = x^{(7/12 - 1/2)} = x^1/6
Ответ: x^1/6

Как видно из примера, благодаря этим свойствам мы можем упрощать сложные степенные выражения, приводя подобные члены. Это часто используется при решении различных задач на практике.

Примеры использования свойств степеней с рациональным показателем

Рассмотрим несколько конкретных применений свойств степеней с дробным показателем.

Во-первых, эти свойства удобно использовать при решении уравнений, содержащих степени. Например:

Пример. Решим уравнение:
x^1/2 - 2x^1/4 = 0
Решение:
Применим свойства степеней:
x^1/2 - 2x^1/4 = x^1/2 - (√2)2x^1/4 = 0 x^1/2(1 - √2) = 0
Ответ: x = 0 или x = 4

Кроме того, свойства степеней удобно применять при сравнении значений степенных выражений или упрощения выражений, содержащих степени. Рассмотрим следующий пример:

Пример . Сравнить значения выражений:

(2x)^2/3 и (4x²)^1/3
Решение:
Представим выражения в виде степеней с целым показателем:
(2x)^2/3 = 2^2/3x^2/3 (4x²)^1/3 = 2x^2/3
Так как 2^2/3 > 1, то (2x)^2/3 > (4x²)^1/3

Подобные приемы часто применяются на практике при работе со степенными функциями и выражениями.

Практическое применение степеней с рациональным показателем

Степени с дробным показателем находят широкое применение в различных областях точных и естественных наук. Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Использование в физике и химии

Многие физические и химические формулы и законы содержат степени с дробными показателями. Например, в физике это закон всемирного тяготения:

F = G*m1*m2/r²

А в химии - закон действующих масс:

v = k*[A]^m[B]ⁿ

Знание свойств степеней позволяет эффективно преобразовывать такие формулы при решении задач.

Применение в экономике

Степени с рациональными показателями используются в экономических моделях и расчетах. Например, при подсчете коэффициента эластичности:

Е = ΔQ/Q : ΔP/P = (ΔQ/ΔP)*(P/Q)

Также степени применяются в производственных функциях вида:

Q = A*L^a*K^b

Где L и K - факторы производства, а a и b - их эластичности замены.

Понятие степени с рациональным показателем

Рассмотрим более подробно определение степени с рациональным показателем. Из определения следует, что такую степень можно представить через арифметический корень. Например:

a^p/q = √q√a^p

Где a - основание степени, p/q - рациональный показатель в виде обыкновенной дроби. Такое представление позволяет упростить работу со степенями такого вида.

Степени в повседневной жизни

Степени с показателем встречаются и в обыденной жизни. Например, при оценке уровня громкости звука используется логарифмическая шкала децибел (дБ). 0 дБ соответствует порогу слышимости, а удвоение громкости эквивалентно прибавлению 3 дБ. То есть если громкость звука A составляет x дБ, а громкость B в два раза выше, то:

B (дБ) = A (дБ) + 3 дБ = x + 3 дБ

Это пример использования свойств степеней в обыденной жизни.

Свойства степеней одинаковы как для рационального, так и для действительного показателя. Это позволяет применять одни и те же приемы работы с такими степенями. Например:

(2^1/2)^3/2 = 2^(1/2)*3/2 = 2^3/4

Здесь показатель является действительным числом, но свойство возведения степени в степень выполняется. Это существенно упрощает работу с подобными выражениями.

Доказательство свойств степеней

Давайте докажем одно из основных свойств степеней с рациональным показателем - правило умножения:

a^p/q * a^m/n = a^{(p/q + m/n)}

Доказательство:

По определению:
^p/q
^p
^m/n
^m
Умножим левую и правую части этих равенств:
a^p/q * a^m/n = √q√a^p * √n√a^m
Применим свойства арифметического корня и степени:
√q√a^p * √n√a^m = √(qn)(a^p+m)
По определению степени имеем:
√(qn)(a^p+m) = a^{(p/q + m/n)}
Итого:
a^p/q * a^m/n = a^{(p/q + m/n)}

Что и требовалось доказать!

Обобщение на степени с действительным показателем

Все рассмотренные свойства степеней справедливы и для действительного показателя. Это следует из представления действительного числа в виде предела последовательности рациональных чисел.

Например, число √2 можно представить как: