Интегрирование по частям: методика вычисления

Интегрирование по частям - это метод нахождения неопределенных интегралов от произведения двух функций, одна из которых легко дифференцируется, а другая - интегрируется. Данный метод основан на формуле интегрирования по частям и широко используется для вычисления определенных классов интегралов.

Формула интегрирования по частям

Основой метода интегрирования по частям является следующая формула:

где u и v - некоторые функции от переменной интегрирования x.

Применение метода

Чтобы применить интегрирование по частям, необходимо:

1. Разбить подынтегральную функцию на два сомножителя u и v.
2. Взять производную от функции u и обозначить ее du.
3. Найти неопределенный интеграл от функции v и обозначить его dv.
4. Подставить полученные du и dv в формулу интегрирования по частям.
5. Вычислить интегралы в правой части формулы.

Рассмотрим применение этого алгоритма на конкретном примере.

Пример интегрирования по частям

Найдем интеграл ∫xlnxdx методом интегрирования по частям:

1. Разбиваем подынтегральную функцию: u = ln x, v = x
2. Находим du и dv:
   du = (ln x)' = 1/x dx dv = dx
3. Подставляем в формулу интегрирования по частям:
4. Вычисляем интегралы в правой части:
   ∫xv dx = xv = x
   ²
   /2 ∫(1/x) dx = ln|x| + C

Итого, после подстановки и преобразований получаем:

Таким образом, применив интегрирование по частям, мы свели данный интеграл к табличным интегралам.

Когда применяется

Метод интегрирования по частям широко используется для вычисления интегралов следующих типов:

• Интегралы, содержащие произведение тригонометрических и гиперболических функций на многочлены или другие элементарные функции.
• Интегралы, содержащие произведения показательной и логарифмической функций.
• Интегралы от произведения обратных тригонометрических функций на элементарные функции.

Также этот метод может применяться для интегрирования некоторых рациональных и иррациональных функций.

Преимущества и недостатки

К достоинствам метода интегрирования по частям можно отнести:

• Простота и наглядность формулы.
• Возможность свести сложный интеграл к более простым.
• Широкую область применения.

К недостаткам относят:

• Необходимость правильно выбрать функции u и v.
• В ряде случаев требуется неоднократное применение формулы.
• Метод не всегда приводит к табличным интегралам.

Тем не менее, несмотря на некоторые минусы, интегрирование по частям является одним из наиболее универсальных и часто используемых методов вычисления определенного класса интегралов.

Вычисление интегралов

Метод интегрирования по частям позволяет вычислить интегралы от произведений элементарных функций, не прибегая к таблице интегралов. Формула этого метода довольно проста, а область применения достаточно широка. Главное при использовании этого метода - правильно выбрать функции для замены и при необходимости применить формулу несколько раз.

Другие примеры интегрирования по частям

Рассмотрим еще несколько примеров применения метода интегрирования по частям для вычисления интегралов.

Интеграл от произведения тригонометрических функций

Вычислим интеграл ∫sinx·cosxdx:

1. Положим: u = cosx, du = -sinxdx
2. dv = sinxdx, v = -cosx
3. Подставляем в формулу интегрирования по частям:
4. Вычисляем интегралы в правой части:
   ∫vdu = ∫-cosx·(-sinx)dx = sin2x ∫udv = ∫cosx·sinxdx = 0

Ответ: ∫sinx·cosxdx = sin2x + C

Интеграл от произведения степенной и показательной функций

Найдем интеграл ∫x2·exdx методом интегрирования по частям:

1. Положим: u = ex, du = exdx
2. dv = x2dx, v = x3/3
3. Подставляем в формулу:
4. Вычисляем интегралы в правой части:
   ∫vdu = ∫(x3/3)·exdx = (x3/3)·ex ∫udv = ∫ex·x2dx = (x2/2)·ex

Итого, ответ: ∫x2·exdx = (x3/3)·ex - (x2/2)·ex + C

Интеграл, содержащий обратные тригонометрические функции

Вычислим интеграл ∫tgx·ctgxdx методом интегрирования по частям:

1. Положим: u = ctgx, du = -csc2xdx
2. dv = tgxdx, v = -ln|cosx|
3. Подставляем в формулу:
4. Вычисляем интегралы в правой части:
   ∫vdu = ∫-ln|cosx|·(-csc2x)dx = ln|cosx| ∫udv = ∫ctgx·tgxdx = ctg2x

Ответ: ∫tgx·ctgxdx = ctg2x + ln|cosx| + C

Как видно из приведенных примеров, метод интегрирования по частям позволяет вычислить довольно широкий класс интегралов, сводя их к табличным интегралам.

Применение метода для рациональных и иррациональных функций

Интегрирование по частям может быть также эффективно применено для вычисления интегралов от некоторых рациональных и иррациональных функций. Рассмотрим несколько примеров.

Интеграл рациональной функции

Найдем интеграл ∫(3x+1)/(x2+2x+2)dx методом интегрирования по частям:

1. Положим: u = 3x+1, du = 3dx
2. dv = (x2+2x+2)-1dx = (1/(x2+2x+2))dx, v = ln|x2+2x+2|
3. Подставляем в формулу интегрирования по частям и вычисляем:

Ответ: ∫(3x+1)/(x2+2x+2)dx = (3x+1)·ln|x2+2x+2|/3 + C

Иррациональная функция

Вычислим интеграл ∫x·√(x2+5)dx методом интегрирования по частям:

1. Положим: u = √(x2+5), du = x/√(x2+5)dx
2. dv = xdx, v = x2/2
3. Подставляем в формулу:
4. Вычисляем интегралы:
   ∫vdu = ∫(x2/2)·(x/√(x2+5))dx = (x2/2)·√(x2+5) ∫udv = ∫√(x2+5)·xdx = (2/3)·(x2+5)3/2

Ответ: ∫x·√(x2+5)dx = (2/3)·(x2+5)3/2 - (x2/2)·√(x2+5) + C

Таким образом, интегрирование по частям является одним из основных методов для вычисления интегралов от широкого класса функций.