Касательная к окружности и ее уникальные свойства: что нужно знать

Касательная к окружности - это важнейший элемент геометрии, позволяющий решать множество задач. Давайте разберемся, что такое касательная, каковы ее свойства и как ее можно применять на практике.

Что такое касательная к окружности

Касательная к окружности - это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. В отличие от секущей, у касательной нет второй точки пересечения с окружностью. Рассмотрим определение касательной более формально:

Касательная к окружности – прямая в евклидовой геометрии на плоскости, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.

На рисунке ниже красным цветом выделена касательная к окружности, а точка Т - точка касания:

Основным свойством касательной является то, что она нигде не пересекает окружность. Это отличает ее от других прямых. Например, секущая пересекает окружность в двух точках, а внешняя прямая вообще может не иметь точек пересечения с окружностью.

Свойства касательной к окружности

Рассмотрим три основных свойства касательной:

1. Касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному к точке касания
2. Все касательные, проведенные из одной точки, равны между собой
3. Касательная образует с хордой окружности угол, равный половине заключенной между ними дуги

Эти свойства помогают в доказательствах различных теорем и решении геометрических задач. Например, зная, что касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания, можно определить, является ли прямая касательной, не видя всей окружности. Достаточно проверить, что эта прямая перпендикулярна хотя бы одному радиусу.

Другой пример: если из одной точки к окружности проведено две касательные, то мы точно знаем, что эти отрезки касательных равны между собой. Это свойство часто используется при решении задач на вычисление.

Построение касательной к окружности

Рассмотрим, как можно построить касательную к окружности, проходящую через некоторую точку. Существует несколько способов:

1. Построение через точку на окружности

Если точка уже лежит на окружности, построение простое:

1. Соединяем эту точку с центром окружности
2. Строим перпендикуляр к этому радиусу

Получившаяся прямая и есть искомая касательная. У нее точно одна общая точка с окружностью, и она перпендикулярна радиусу в точке касания.

Применение касательной для решения задач

Касательная часто используется при решении разнообразных задач на вычисление, доказательство и построение. Рассмотрим несколько примеров.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по геометрии

В задачах ЕГЭ/ОГЭ касательная помогает найти неизвестные элементы треугольников и окружностей. Например:

Задача: Хорда AB стягивает дугу окружности в 60°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B.

Решение: По теореме угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги. Дуга AB равна 60°, половина этого значения и есть искомый угол: 30°. Ответ: 30°

Доказательство теорем

Свойства касательной используются при доказательствах утверждений. Например, с помощью касательной можно строго доказать, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Или показать, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Геометрические построения

Зная свойства касательных из одной точки, можно выполнять построения окружностей заданного радиуса или площади. Например, если даны две окружности и требуется построить между ними окружность с определенным радиусом, касающуюся этих двух окружностей. Такое построение можно осуществить с помощью касательных.

Построение касательной через точку вне окружности

Если точка находится вне окружности, построение касательной чуть сложнее, но тоже выполнимо несколькими способами.

Способ с помощью окружности

1. Соединяем данную точку с центром окружности

2. Строим окружность с центром в точке касания радиуса, равного расстоянию между данной точкой и центром первой окружности

3. Проводим касательные к новой окружности из данной точки

4. Эти касательные будут касаться и первой окружности

Способ с использованием симметрии

1. Находим середину отрезка между данной точкой и центром окружности

2. Строим окружность с центром в найденной середине и радиусом, равным отрезку от середины до центра первой окружности

3. Касательные к построенной окружности из исходной точки будут искомыми касательными к первой окружности

Оба эти метода основаны на свойствах касательной и центральной симметрии.

Теорема о произведении отрезков для касательной и секущей

Рассмотрим полезную теорему, связывающую касательную и секущую, проведенные к окружности из одной точки:

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

Это свойство используется для вычисления длин отрезков при решении геометрических задач. Например, если известны секущая и ее часть, то можно найти касательную, возведя часть секущей в квадрат и поделив на всю длину секущей.

Касательная и описанная окружность

Через точки касания касательных, проведенных к окружности из вершин некоторого многоугольника, всегда можно описать другую окружность - ее называют описанной окружностью данного многоугольника.

Это свойство имеет много применений для решения задач на максимальную площадь, углы многоугольников и длины его сторон. Также может использоваться при доказательствах некоторых утверждений и теорем планиметрии.