Теорема Бернулли: фундаментальная формула вероятности

Теорема Бернулли, названная в честь выдающегося швейцарского математика XVIII века Якоба Бернулли, является одним из фундаментальных результатов теории вероятностей. Эта теорема позволяет вычислять вероятности в так называемой схеме Бернулли - классической модели повторных независимых испытаний с двумя исходами.

История открытия теоремы Бернулли

Якоб Бернулли (1655-1705) был одним из самых выдающихся математиков своего времени. Его переписка с другим крупным математиком, Пьером Ремоном де Монмором, послужила толчком к открытию теоремы Бернулли. В письмах Бернулли и де Монмор обсуждали задачу о вычислении вероятностей различных исходов при многократных испытаниях типа подбрасывания монетки. Эта дискуссия в конечном итоге привела Бернулли к открытию фундаментальной формулы, названной его именем.

Из письма Я. Бернулли де Монмору от 29 января 1713 г.:
"Я пришел к общей теореме, позволяющей определить, сколько раз в серии испытаний должно произойти некоторое событие с известной вероятностью"

В своей работе 1713 года Бернулли впервые сформулировал и доказал эту теорему. Она давала простую формулу для вычисления вероятностей в модели независимых испытаний, которая впоследствии получила название схема Бернулли.

Формулировка теоремы Бернулли

Рассмотрим типичную задачу, к которой применима теорема Бернулли. Предположим, некто подбрасывает справедливую монетку 10 раз. Монетка может упасть орлом или решкой, это два возможных исхода каждого испытания. Нас интересует вероятность, что за 10 бросков орел выпадет ровно 5 раз. Интуитивно понятно, что эта вероятность должна быть небольшой, так как требуется точное попадание в середину диапазона. Но как ее конкретно посчитать?

Здесь нам и пригодится теорема Бернулли. Она утверждает следующее:

1. Рассматривается серия из n независимых испытаний, в каждом из которых происходит событие А с вероятностью p.
2. Тогда вероятность того, что событие А произойдет в точности k раз, равна:
   P(k успехов из n испытаний) = C^n_k * p^k * (1-p)^(n-k)
3. Здесь C^n_k - число сочетаний из n по k, вычисляется по формуле:
   C^n_k = n! / (k! * (n-k)!)

Эта формула Бернулли и позволяет отвечать на подобные вопросы. Давайте применим ее для вычисления искомой вероятности в нашем примере с 10 бросаниями монетки.

Применение теоремы Бернулли

Итак, пусть вероятность выпадения орла p=0.5. Рассмотрим событие А - "выпадение орла". Требуется найти вероятность, что за 10 бросков это событие произойдет ровно 5 раз P(k=5). Подставляем значения в формулу Бернулли:

• n = 10 (число испытаний)
• k = 5 (число интересующих нас успехов)
• p = 0.5 (вероятность успеха в одном испытании)

Вычисляем сочетание C^10_5 = 10! / (5! * (10-5)!) = 252 Подставляем в формулу Бернулли:

P(k=5) = C^10_5 * p^5 * (1-p)^(n-5) = 252 * 0.5^5 * 0.5^5 = 0.24609375

Итак, искомая нами вероятность составляет примерно 0.25, или 1 шанс из 4. Это довольно мало, чтобы "попасть в яблочко" ровно 5 раз из 10 бросков монетки. Но благодаря формуле Бернулли, мы можем точно это посчитать.

Рассмотрим еще несколько примеров и практических задач, где применима теорема Бернулли для расчета вероятностей в схеме Бернулли.

Пользуясь той же формулой Бернулли, можно посчитать вероятность P(k=7) = 0.1171875. То есть шанс, что из 10 подбрасываний монетки в точности 7 раз выпадет орел, составляет примерно 12%.

Аналогично можно решать и более сложные задачи, например вычислять вероятность определенного числа успехов при проведении химических опытов, контрольных измерений, опросов и т.д. Теорема Бернулли дает универсальную формулу для многих практических приложений теории вероятностей.

Теорема Бернулли: теория вероятности

Как видно из примеров, теорема Бернулли лежит в основе многих вычислений вероятностей и статистических оценок. Она устанавливает фундаментальную связь между двумя ключевыми понятиями теории вероятностей:

• Вероятностью события в однократном испытании;
• Вероятностью числа наступлений этого события в серии повторных независимых испытаний.

Зная первое, по теореме Бернулли можно вычислить второе. Это очень важно для практических приложений теории вероятностей в науке, статистике, экономике, социологии и других областях.

Связь с предельными теоремами

Теорема Бернулли тесно связана с фундаментальным понятием предельных теорем теории вероятностей. Эти теоремы исследуют поведение частот при большом числе испытаний и их сходимость к соответствующим вероятностям. Одной из таких ключевых теорем является центральная предельная теорема.

Рассмотрим применение центральной предельной теоремы в схеме Бернулли при большом числе испытаний n. Согласно этой теореме, распределение числа успехов k при больших n будет приближаться нормальным распределением. Его математическое ожидание равно np, а дисперсия np(1-p). Этот результат напрямую следует из теоремы Бернулли, являясь ее предельным случаем.

Обобщения теоремы Бернулли

Классическая теорема Бернулли относится к случаю двух исходов в каждом испытании: либо произошло событие А ("успех") с вероятностью p, либо не произошло (1-p). Однако существует обобщение этой теоремы на произвольное конечное число исходов.

Например, рассмотрим бросание игрального кубика. Здесь 6 равновозможных исходов: от 1 до 6 очков. Формула Бернулли обобщается следующим образом: вероятность получить за n испытаний k_1 раз цифру 1, k_2 раз цифру 2 и т.д. можно выразить аналогично через многочлениальные коэффициенты.

Доказательство теоремы Бернулли

Первоначально Якоб Бернулли вывел свою знаменитую теорему, используя комбинаторное доказательство. Рассмотрим все возможные варианты расположения k успехов среди n испытаний. Их число как раз равно числу сочетаний C^n_k. Для каждого такого варианта вероятность равна p^k * (1-p)^(n-k). Суммированием по всем вариантам и получается итоговая формула Бернулли.

Позднее появились и другие доказательства теоремы Бернулли с использованием индукции, композиции биномиальных распределений и других подходов. Но первоначальный комбинаторный вывод Бернулли до сих пор отличается простотой и наглядностью.

Расширение на случайные вероятности

До сих пор мы рассматривали вероятность успеха p в каждом испытании как константу. Однако можно доказать расширение теоремы Бернулли и на случай, когда эта вероятность является случайной величиной и меняется от испытания к испытанию. При этом в формуле используются условные вероятности и математические ожидания.

Такое обобщение позволяет применять теорему Бернулли для более широкого класса задач. Например, когда вероятность успеха зависит от внешних случайных факторов или изменяется со временем по некоторому закону.