Порядок выполнения арифметических действий: сначала деление или умножение?

Многие из нас в детстве сталкивались с трудностями при решении математических задач, содержащих несколько действий. Какое действие выполнять в первую очередь - вечный вопрос. Давайте разберемся вместе, какой порядок вычислений позволит быстро и безошибочно решать подобные задачи.

Порядок действий при решении простых числовых выражений

Рассмотрим несколько примеров простых математических выражений, содержащих сложение, вычитание, умножение и деление:

• 2 + 3 × 5
• 9 − 4 : 2
• (4 + 3) × 2

Как видно, порядок следования знаков действий влияет на конечный результат. Чтобы избежать ошибок, нужно придерживаться определенных правил приоритета операций.

Первыми выполняются действия умножения и деления, а затем - сложения и вычитания. То есть умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание.

Это легко объяснить тем, что умножение и деление являются операциями обратными друг другу, как и сложение и вычитание. Поэтому их нужно выполнять в парах до того, как переходить к следующей паре.

Давайте вычислим значение одного из приведенных выражений согласно правилу приоритета:

• 2 + 3 × 5

1. Сначала выполняем умножение: 3 × 5 = 15
2. Затем складываем: 2 + 15 = 17

Ответ: 17.

Точно так же можно вычислить значения остальных выражений из примеров, строго соблюдая приоритет операций. Это позволит избежать ошибок и быстро получить верный результат.

Порядок действий при решении выражений со скобками

Часто в математических выражениях используются скобки, которые также влияют на приоритет выполнения действий. Давайте рассмотрим такие примеры:

• (3 + 2) × 4
• 8 ÷ (4 − 2)

Как видите, здесь присутствуют одинарные скобки, выделяющие отдельные фрагменты выражения. При наличии скобок действует следующее правило:

В первую очередь выполняются действия внутри скобок, затем все остальные по правилам приоритета.

Рассмотрим решение второго выражения пошагово:

1. Сначала находим разность выражения в скобках: 4 − 2 = 2
2. Затем выполняем деление: 8 ÷ 2 = 4

Получаем, что значение выражения равно 4. Такой подход позволяет избежать ошибок и быстро найти верный ответ.

Скобки могут быть не только одинарными, но и вложенными одна в другую. В таком случае в первую очередь вычисляют значение внутренней скобки, а затем внешней по порядку. Рассмотрим пример:

(2 + 3) × (4 − 1)

Порядок действий при вложенных скобках

Как видно из примера, здесь одни скобки находятся внутри других. В таком случае:

1. Сначала вычисляем значение внутренних скобок: 4 − 1 = 3
2. Подставляем полученный результат во внешние скобки: (2 + 3) × 3
3. Вычисляем значение выражения во внешних скобках: 2 + 3 = 5
4. Умножаем результаты: 5 × 3 = 15

Ответ: 15.

Таким образом, при вложенных скобках нужно начинать вычисления с самых внутренних и последовательно переходить к внешним по мере получения промежуточных результатов.

Порядок действий при смешанных скобках

В математических выражениях используются не только круглые скобки. Часто встречаются квадратные [] и фигурные {} скобки.

Правила приоритета действий для них такие же, как и для круглых скобок, с той лишь разницей, что сначала вычисляются выражения

в круглых скобках, затем в квадратных и в фигурных.

То есть круглые скобки имеют наивысший приоритет.

Рассмотрим вычисление выражения со смешанными скобками:

5 × [3 + (8 − 2)]

1. Начинаем с круглых скобок: 8 − 2 = 6
2. Переходим к квадратным: 3 + 6 = 9
3. Умножаем на числовой множитель: 5 × 9 = 45

Таким образом, значение всего выражения равно 45.

Сначала деление умножение в выражениях без скобок

Что делать, если в выражении присутствуют все 4 арифметических действия, но нет никаких скобок?

В таком случае действуем по правилу:

Сначала выполняется деление и умножение (те действия второй ступени), а потом - сложение и вычитание (действия первой ступени).

Рассмотрим числовой пример:

12 + 6 : 2 × 5 − 4

1. Первым делом выполняем деление: 6 : 2 = 3
2. Сначала умножение потом деление: 3 × 5 = 15
3. Затем приступаем к сложению: 12 + 15 = 27
4. И напоследок делаем вычитание: 27 − 4 = 23

Получаем, что значение всего выражения равно 23. Такой подход позволяет избежать ошибок в сложных выражениях без скобок.

Практические советы

Чтобы быстро и правильно выполнять вычисления в математических выражениях, полезно:

• Разбивать сложные выражения на отдельные фрагменты по действиям и скобкам
• Выписывать промежуточные результаты подробно пошагово
• Использовать карандаш и бумагу для черновых записей
• Проверять вычисления на калькуляторе

Со временем подобный алгоритм решения числовых выражений войдет в привычку и позволит быстро и безошибочно справляться с любыми математическими расчетами в уме.