Формула расчета периода гармонических колебаний в физике

Автор Ирина Крылова December 17, 2023

Гармонические колебания - это удивительное явление природы, которое окружает нас повсюду. Почему многие процессы вокруг нас носят колебательный характер? Как рассчитать период этих колебаний и что это даст человеку? Обо всем этом и не только - в нашей статье.

1. Что такое гармонические колебания и где они встречаются

Гармоническими колебаниями называют такие колебания, при которых физическая величина, характеризующая состояние колебательной системы, изменяется по гармоническому закону - закону синуса или косинуса.

Классическими примерами гармонических колебаний являются:

Колебания груза на пружине
Колебания математического маятника
Электрические колебания в контуре из катушки индуктивности и конденсатора

Причины столь широкого распространения гармонических колебаний кроются в природе самих физических систем. Большинство систем обладает линейным откликом на возмущения - то есть отклик системы (возвращающая сила) прямо пропорционален возмущению (смещению из положения равновесия). А из теории колебаний известно, что при таком линейном отклике система обязательно будет совершать колебания по гармоническому закону.

2. Формула для расчета периода гармонических колебаний

Для любой колебательной системы можно определить так называемую собственную частоту колебаний или циклическую частоту $\omega_0$. Эта величина зависит от инертных и упругих свойств системы.

Например, для математического маятника:

$\omega_0 = \sqrt{g/l}$

где:

g - ускорение свободного падения
l - длина маятника

А для груза на пружине:

$\omega_0 = \sqrt{k/m}$

где:

k - жесткость пружины
m - масса груза

Зная $\omega_0$, можно рассчитать период колебаний T:

T = 2π/ω₀

То есть чем больше собственная частота системы, тем меньше период ее свободных гармонических колебаний. Эта формула позволяет довольно просто определить период колебаний по известным параметрам системы.

3. Как измерить период колебаний

Для экспериментального определения периода колебаний какой-либо системы можно воспользоваться следующей лабораторной работой.

Необходимое оборудование:

Пружинный или нитяной маятник
Секундомер
Линейка
Штатив с муфтой и лапкой

Ход работы:

Закрепить маятник на штативе
Отклонить маятник на 10-15 градусов от положения равновесия
Отпустить маятник и включить секундомер
Посчитать количество полных колебаний за 10 секунд
Рассчитать период колебаний по формуле: T = t/N, где t - промежуток времени, N - число колебаний

Для повышения точности измерений рекомендуется:

Повторить опыт 3-5 раз и взять среднее значение
Увеличить время подсчета колебаний до 20-30 секунд
Использовать маятник с относительно большим периодом колебаний (0.5 - 1.5 с)

Таким образом можно экспериментально определить период колебаний различных маятников, а затем сравнить с теоретическими формулами.

4. Зависимость периода колебаний от параметров системы

Из приведенных выше формул видно, что период колебаний любой системы зависит от ее параметров. Рассмотрим подробнее эти зависимости на примере математического маятника и груза на пружине.

Математический маятник

Период колебаний математического маятника выражается формулой:

T = 2π√(l/g)

Из нее видно, что:

Период растет с увеличением длины маятника l
Период не зависит от массы маятника m
Период увеличивается при уменьшении ускорения свободного падения g (с высотой)

Груз на пружине

Для груза на пружине имеем формулу:

T = 2π√(m/k)

Отсюда:

Период растет с увеличением массы груза m
Период уменьшается при возрастании жесткости пружины k

Данные зависимости часто используются на практике - например, для настройки частоты колебаний в физических устройствах.

5. Энергия гармонических колебаний

При совершении гармонических колебаний в системе происходит периодическое превращение энергии из одной формы в другую.

Рассмотрим подробнее на примере пружинного маятника.

В некоторые моменты вся энергия системы находится в потенциальной форме и определяется выражением:

W_пот = kx²/2

В другие моменты вся энергия переходит в кинетическую форму:

W_кин = mv²/2

Согласно закону сохранения энергии, сумма потенциальной и кинетической энергии в системе остается постоянной на протяжении всего колебательного цикла и равна:

W = kA²/2

где A - амплитуда колебаний.

6. Уравнение гармонических колебаний формула

Движение при гармонических колебаниях описывается уравнением:

x = Acos(ωt + φ)₀

где x - текущее значение физической величины, A - амплитуда, ω - циклическая частота, t - время, φ₀ - начальная фаза.

Данное уравнение гармонических колебаний (формула) позволяет однозначно определить состояние колебательной системы в любой момент времени.

7. Вынужденные колебания

Если к колебательной системе, совершающей свободные гармонические колебания, приложить внешнюю периодическую силу с частотой f, то возникнут вынужденные колебания.

Их амплитуда будет тем больше, чем ближе частота внешней силы к собственной частоте системы f₀.