Число Прандтля: определение, формула и особенности решения

Число Прандтля - важный безразмерный параметр в физике жидкостей и газов. Он позволяет оценить влияние вязкости и теплопроводности на течение среды. В этой статье мы разберем, что такое число Прандтля, его физический смысл, формулу расчета и особенности применения на практике.

1. Определение числа Прандтля

Число Прандтля (Pr) - это безразмерная величина, характеризующая соотношение между вязкостью и теплопроводностью жидкости или газа.

Впервые это понятие ввел в 1905 году немецкий физик Людвиг Прандтль, который занимался исследованиями теплообмена и гидродинамики. Отсюда и название - число Прандтля.

Число Прандтля показывает, насколько быстро тепло распространяется в жидкости или газе по сравнению с распространением импульса

Физический смысл числа Прандтля заключается в следующем:

• Оно характеризует эффективность теплообмена в среде
• Показывает соотношение толщины пограничного слоя скорости и температуры
• Влияет на интенсивность конвективного теплообмена

Число Прандтля связано с другими критериями подобия - числами Рейнольдса (Re) и Пекле (Pe):

Pe = Pr · Re

Этот параметр применяется при расчетах теплообмена, выборе конструкций теплообменных аппаратов, исследовании течений жидкостей и газов.

2. Формула для расчета числа Прандтля

Число Прандтля рассчитывается по формуле:

Pr = ν / a

где ν - кинематическая вязкость среды, а - коэффициент температуропроводности.

Кинематическая вязкость определяет внутреннее трение в жидкости или газе. Она зависит от природы и параметров среды.

Коэффициент температуропроводности показывает, насколько быстро тепло распространяется в среде. Этот коэффициент также зависит от свойств среды.

Подставив значения вязкости и температуропроводности для конкретной среды в указанную выше формулу, можно рассчитать ее число Прандтля.

Пример расчета

Допустим, у нас есть вода при температуре 20°С. Нам нужно вычислить ее число Прандтля. Известны значения:

• ν = 1·10^-6 м²/с
• a = 1,43·10^-7 м²/с

Подставляем в формулу:

Pr = (1·10^-6) / (1,43·10^-7) = 7

Получаем, что при данных условиях число Прандтля для воды равно 7.

Зная число Прандтля, можно оценить интенсивность теплообменных процессов в воде и эффективно рассчитать теплогидравлические процессы с ее участием.

3. Числа Прандтля для различных жидкостей и газов

Число Прандтля сильно зависит от природы и параметров среды. Для разных жидкостей и газов оно может существенно отличаться.

Воздух

Для воздуха число Прандтля лежит в диапазоне 0,7 - 0,8 и практически не зависит от температуры. Это обусловлено особенностями молекулярного строения газов.

Вода

Число Прандтля для воды сильно меняется с температурой из-за резкого падения вязкости при нагревании. Вот типичные значения:

Как видно, с ростом температуры число Прандтля для воды резко падает. Это нужно учитывать при расчетах теплообмена.

Для других жидкостей и материалов (масел, расплавов металлов) характерны свои закономерности изменения числа Прандтля. При работе с ними следует использовать справочные данные для конкретных условий.

Зная значения числа Прандтля для различных сред, можно сравнивать эффективность теплопереноса и гидродинамику их течений. Численное моделирование позволяет детально исследовать эти процессы и оптимизировать инженерные задачи с участием данных сред.

4. Влияние числа Прандтля на теплоперенос

Число Прандтля оказывает существенное влияние на интенсивность теплопереноса в потоках жидкостей и газов. Рассмотрим основные аспекты этого влияния.

Пограничный слой

Соотношение толщин температурного и скоростного пограничных слоев пропорционально корню квадратному из числа Прандтля:

δт/δc ~ Pr^1/2

То есть чем больше число Прандтля, тем тоньше температурный пограничный слой по сравнению со слоем скоростей. Это влияет на структуру течения и теплообмен со стенкой.

Конвективный теплообмен

Коэффициент теплоотдачи при конвективном теплообмене зависит от числа Прандтля. Увеличение Pr приводит к росту интенсивности теплообмена в пограничном слое.

Течение вязких жидкостей

При течении высоковязких жидкостей (масел, полимеров) большое число Прандтля указывает на важность учета температуропроводности. В таких случаях требуется решать совместно уравнения количества движения, энергии и теплопереноса.

5. Экспериментальное определение числа Прандтля

Кроме расчета по формулам, число Прандтля можно определить экспериментально. Рассмотрим методы его нахождения.

Лабораторные условия

В лаборатории измеряют коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и вязкости исследуемой жидкости. По полученным значениям рассчитывают число Прандтля.

Промышленные условия

Для рабочих сред в реальных установках определяют тепловые и гидродинамические характеристики в заданных режимах. Затем рассчитывают критериальные параметры, в том числе число Прандтля.

6. Численное моделирование течений с учетом числа Прандтля

Современные пакеты вычислительной гидродинамики и тепломассообмена позволяют моделировать течения сред с заданными свойствами, в том числе с известным значением числа Прандтля.

Постановка задачи

При постановке задачи численного моделирования задают граничные условия, геометрию, свойства среды и режимы течения или теплообмена.

Анализ результатов

По данным моделирования строят поля скоростей, давления, температуры. Анализируют влияние числа Прандтля на структуру потока и теплообмен.

Оптимизация процессов

На основе расчетов выбирают оптимальные режимы работы систем с точки зрения гидродинамики, интенсификации теплообмена, энергосбережения.

7. Практическое применение расчетов с использованием числа Прандтля

Полученные теоретические и экспериментальные данные о числе Прандтля для различных сред находят широкое практическое применение.

Теплообменные аппараты

При конструировании теплообменных аппаратов (кожухотрубчатых, пластинчатых и др.) выбирают оптимальные режимы с учетом чисел Прандтля теплоносителей.

Энергетическое оборудование

В парогенераторах, газотурбинных и паротурбинных установках рассчитывают гидродинамику, теплообмен и охлаждение с использованием числа Прандтля рабочих тел.

Химическая промышленность

При моделировании химико-технологических процессов учитывают физические свойства веществ, в том числе тепловые, с помощью критерия Прандтля.

Металлургия

В металлургии при разработке технологий литья, пайки и сварки металлов и сплавов используют данные об их числах Прандтля в расплавленном состоянии.

Пищевая промышленность

Для оптимизации процессов тепловой обработки пищевых продуктов применяют расчеты конвективного теплообмена с учетом чисел Прандтля.