Найти
×

Чему равен тангенс угла? Ответы и расчеты

0
0

Знание точного значения тангенса угла часто бывает необходимо в инженерных расчетах, строительстве, геодезии, физике и других областях. Умение быстро и правильно его вычислять поможет решить многие практические задачи. Давайте разберемся, что такое тангенс угла, как его найти и где применить эти знания.

Инженер считает на закате

Определение тангенса угла

Существует два основных определения тангенса угла:

  1. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:

Это определение удобно использовать при решении геометрических задач, когда известны стороны треугольника. Например, если один катет равен 3, а другой - 4, то тангенс угла между ними равен:

tgα = 3/4 = 0,75

Или, если tgα = 1,73, а один катет равен 5 см, то второй катет должен быть равен 5/1,73 ≈ 2,9 см.

  1. Тангенс угла также равен отношению синуса этого угла к косинусу:

Это определение позволяет легко вывести различные тригонометрические формулы, например:

sin2α + cos2α = 1

Отсюда получаем, что

tg2α = sin2α / cos2α

Библиотека в вечернем свете

Обозначения тангенса угла

В математике приняты следующие обозначения для тангенса:

  • tgα
  • tanα
  • tangα

Где α - угол, тангенс которого вычисляется.

Формула тангенса угла

Общая формула для нахождения тангенса угла выглядит так:

tgα = противолежащий катет / прилежащий катет

Или, используя второе определение:

tgα = sinα / cosα

Где α - искомый угол.

Пример вычисления

Рассмотрим конкретный пример, чтобы разобраться, как находить тангенс угла на практике.

Дан острый угол α = 30°, нужно найти его тангенс. Из таблицы значений или калькулятора находим:

  • sin30° = 0,5
  • cos30° = 0,866

Подставляем в формулу:

tg30° = 0,5/0,866 = 0,577

Ответ: тангенс угла 30° равен 0,577.

Зная значение tgα, эту формулу можно использовать и для обратных вычислений. Например, чтобы найти угол α, если известно, что его тангенс равен 0,75, вычисляем:

0,75 = sinα / cosα

Из таблицы находим ближайшее значение: α = 37°. Таким образом, если tgα = 0,75, то α = 37°.

Таблица свойств

Свойство тангенса Формула
Тангенс прямого угла равен нулю tg90° = 0
Тангенс разности углов равен tg(α - β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgα⋅tgβ)
Тангенс суммы углов tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα⋅tgβ)

Зная эти свойства тангенса, можно выполнять различные преобразования тригонометрических выражений, необходимые для решения сложных задач.

Арктангенс

Арктангенс - это обратная функция для тангенса. Если известен тангенс угла, то арктангенс позволяет найти сам угол α:

arctg x = α при tgα = x

Например:

tg30° = 0,577

Следовательно, если tgα = 0,577, то

arctg 0,577 = 30°

Таким образом, арктангенс широко используется в вычислениях для определения углов по известному значению тангенса.


Похожие статьи