Определение первообразных функций в курсе математического анализа

Что такое первообразная функция и зачем она нужна в математическом анализе? Ответы на эти вопросы вы найдете в данной статье.

1. Определение первообразной функции

Первообразная функция тесно связана с понятием производной. Напомним, что производная функции f(x) в точке x0 - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

А теперь давайте рассмотрим обратную задачу. Пусть у нас есть какая-то функция g(x). Мы хотим найти такую функцию G(x), чтобы выполнялось равенство:

Функция G(x), удовлетворяющая этому соотношению, называется первообразной функции g(x).

Итак, определение первообразной функции связано с операцией, обратной дифференцированию. Мы как бы "восстанавливаем" функцию по ее производной.

Свойства первообразной функции

Рассмотрим некоторые важные свойства первообразных функций:

• Первообразная определяется с точностью до константы. Если G(x) - первообразная g(x), то G(x)+C, где C - произвольная константа, тоже является первообразной.
• У производной и первообразной тесная взаимосвязь графиков. Точки экстремума производной g(x) соответствуют точкам перегиба графика первообразной G(x).

Помимо этого существуют правила нахождения первообразных для различных элементарных функций, которые мы рассмотрим в следующем разделе.

2. Основные правила вычисления первообразных

Существует ряд полезных правил, позволяющих находить первообразные для некоторых классов функций. Эти правила можно представить в виде таблицы:

С помощью этих правил можно находить первообразные для более сложных функций. Например, рассмотрим функцию \(f(x)=3x^2\). Согласно таблице, первообразная для \(x^2\) равна \((1/3)x^3+C\). Значит, первообразная исходной функции равна \(F(x)=x^3+C\).

Важное свойство первообразных - линейность. Это означает, что при сложении функций складываются и их первообразные:

Благодаря линейности мы можем находить первообразные для сложных функций путем нахождения первообразных отдельных слагаемых и их последующего сложения.

3. Применение первообразных на практике

Где же на практике пригодится такое абстрактное понятие как первообразная функция? Оказывается, областей применения довольно много.

Решение задач механики

Одно из классических применений - вычисление перемещения тела по известной скорости. С физической точки зрения скорость является производной от перемещения. Значит, для нахождения перемещения достаточно взять первообразную от скорости.

Например, если скорость тела определяется функцией \(v(t)=3t^2\), то перемещение вычисляется как

Аналогичный подход используется и для других задач механики - вычисления импульса, количества теплоты и т.д.

Вычисление площадей

С помощью интеграла (неопределенного и определенного) можно вычислять площади криволинейных фигур, объемы тел вращения и многое другое. Это одно из важнейших применений интегрального исчисления на практике.

Для примера рассмотрим вычисление площади фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2\) и \(x = 1\):

Эту площадь можно найти как определенный интеграл от функции \(f(x)=x^2\) от 0 до 1. Путем интегрирования получаем искомую площадь, равную 1/3.

Другие приложения первообразных

Помимо задач механики и вычисления площадей, существует множество других областей, где применяются первообразные функций.

Решение дифференциальных уравнений

Многие дифференциальные уравнения можно решить с помощью нахождения первообразных. Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение вида:

Для его решения достаточно взять первообразную от обеих частей уравнения. Получим решение в виде \(y = x^3/3 + C\).

Финансовые и экономические приложения

Первообразные позволяют моделировать различные финансовые процессы, такие как наращение процентов по вкладам, погашение кредитов, изменение курсов акций и валют.

Например, пусть банковский депозит приносит 5% годовых с начислением процентов 1 раз в год. Тогда зависимость суммы S от времени t описывается дифференциальным уравнением:

Решив его методом первообразных, получаем искомую зависимость суммы депозита от времени.

Первообразные в теории вероятностей и статистике

С помощью первообразных можно находить функции распределения случайных величин, математические ожидания, дисперсии.

Например, пусть плотность распределения случайной величины X задана функцией \(f(x) = 2x\) при \(0 < x < 1\). Тогда функция распределения \(F(x)\) является первообразной от \(f(x)\) и равна \(F(x) = x^2\).

Первообразные в оптимизационных задачах

С помощью дифференцирования первообразных можно находить экстремумы различных функций, решая соответствующие оптимизационные задачи.

Например, найти максимум функции прироста популяции \(P(t)=3t^2e^{-t}\). Для этого достаточно найти первообразную \(F(t)=e^{-t}t^3\), приравнять производную к нулю и решить соответствующее уравнение.