Умножение многочлена на одночлен: формула и правило

В школьном курсе алгебры учащиеся начинают изучать такие понятия, как "многочлен" и "одночлен". Для успешного решения многих задач нужно уметь выполнять операцию умножения между многочленом и одночленом. Давайте разберемся, как это правильно делать!

Что такое многочлен и одночлен

Многочлен - это алгебраическое выражение, состоящее из нескольких слагаемых, называемых членами многочлена. Каждый такой член представляет собой произведение числа, буквы и, возможно, степени этой буквы.

Например, выражение 5x3 + 2x - 7 является многочленом, состоящим из трех членов.

Одночлен же включает в себя только один член. Это может быть просто число, буква или произведение числа, буквы и степени буквы.

Пример одночлена: -3a2b

Формула умножения многочлена на одночлен

При умножении многочлена на одночлен используется специальная формула, основанная на распределительном свойстве умножения.

Суть ее заключается в следующем:

1. Записываем исходный многочлен в скобки: (многочлен)
2. Умножаем каждый член многочлена на заданный одночлен
3. Складываем получившиеся произведения

Давайте рассмотрим конкретный пример умножения многочлена 3x - 4 на одночлен 2y:

1. (3x - 4)
2. 3x * 2y = 6xy
3. -4 * 2y = -8y
4. 6xy - 8y

Как видите, сначала мы умножили каждый член многочлена на одночлен, а затем сложили результаты. Получился тоже многочлен!

Правило умножения многочлена на одночлен

Процесс умножения многочлена на одночлен можно описать следующим простым правилом:

Чтобы получить умножение многочлена на одночлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения.

Другими словами, одночлен распределяется на все члены многочлена согласно формуле, о которой мы говорили выше.

Наглядно это можно представить с помощью такой схемы:

Как видно из схемы, одночлен умножается на каждый член многочлена в отдельности.

Давайте еще раз рассмотрим пример с многочленом 3x - 4 и одночленом 2y:

• Многочлен: 3x - 4
• Одночлен 1: 3x
• Одночлен 2: -4

Согласно правилу, одночлен 2y нужно умножить отдельно на 3x и на -4, а затем сложить результаты:

• 3x * 2y = 6xy
• -4 * 2y = -8y
• 6xy - 8y

Разбор типовых задач на умножение

Рассмотрим несколько примеров типовых задач на умножение многочлена на одночлен, чтобы лучше понять, как применять изученные правила на практике.

Пример 1

Дан многочлен 3x2 - 4x + 5. Требуется умножить его на одночлен -2y.

По правилу записываем многочлен в скобки и умножаем каждый его член на заданный одночлен:

1. (3x2 - 4x + 5)
2. 3x2 * (-2y) = -6x2y
3. - 4x * (-2y) = 8xy
4. 5 * (-2y) = -10y

Ответ: -6x2y + 8xy - 10y

Пример 2

Что такое многочлен? Допустим, дан многочлен 2x + 3. Найдем его произведение с одночленом 4y2:

• 2x * 4y2 = 8xy2
• 3 * 4y2 = 12y2

Ответ: 8xy2 + 12y2

Особенности применения формулы

При использовании формулы умножения многочлена на одночлен есть несколько важных особенностей, о которых стоит помнить:

• Порядок множителей можно менять, это не повлияет на ответ
• Можно не записывать промежуточные вычисления
• Исходные данные желательно приводить к стандартному виду

Рассмотрим эти моменты подробнее.

Урок: умножение многочлена на одночлен

Как уже было сказано ранее, порядок множителей (многочлена и одночлена) можно менять, не влияя на конечный результат.

Это следует из сочетательного закона умножения. Наглядный пример:

1. (2x + 1) * 3y
2. 3y * (2x + 1)

Как видно, порядок множителей поменяли, но ответ будет одинаковый. Это свойство иногда помогает упростить вычисления.

Упрощение вычислений

При выполнении умножения многочлена на одночлен можно не записывать все промежуточные вычисления, а сразу переходить к ответу.

Это позволяет сократить решение и сэкономить время. Рассмотрим пример:

Дано:

• Многочлен: 2x2 - 3x + 5
• Одночлен: 4y

Решение можно записать сразу в виде:

(2x2 - 3x + 5) * 4y = 8x2y - 12xy + 20y

Без промежуточных строк с перемножением каждого члена. Это экономит место и время.

Приведение к стандартному виду

Иногда исходный многочлен или одночлен даны не в стандартном виде. Тогда перед решением полезно их преобразовать.

Например, дано:

• Многочлен: 2x2 + 3x - x - 5
• Одночлен: -2ab2

Приводим многочлен к стандартному виду:

2x2 + 3x - x - 5 = 2x2 + 2x - 5

Теперь можно выполнять умножение в обычном порядке.

Практические рекомендации

Чтобы избежать ошибок при умножении многочленов и одночленов, придерживайтесь следующих советов:

1. Всегда проверяйте знаки при перемножении
2. Не пропускайте члены при переборе многочлена
3. Сверяйте ответ по распределительному свойству

Следуя этим простым рекомендациям, вы сможете избежать распространенных ошибок в такого рода заданиях.

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько примеров с подробным решением задач на умножение многочленов и одночленов.

Пример 1

Дано: многочлен 3x2 - 2x + 4, одночлен -3y.

Решение:

1. Записываем многочлен в скобки: (3x2 - 2x + 4)
2. Умножаем каждый член на одночлен -3y:3x2 * (-3y) = -9x2y-2x * (-3y) = 6xy4 * (-3y) = -12y
3. Складываем результаты: -9x2y + 6xy - 12y

Ответ: -9x2y + 6xy - 12y

Пример 2

Дано: одночлен -5a, многочлен 2x2 + 3x - 1

Решение:

1. (-5a)(2x2 + 3x - 1)
2. 2x2 * (-5a) = -10ax23x * (-5a) = -15ax-1 * (-5a) = 5a
3. -10ax2 - 15ax + 5a

Ответ: -10ax2 - 15ax + 5a

Разложение дробей

Одно из применений данного умения - упрощение дробей путем разложения на множители с использованием общего одночлена.

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

Определите общий множитель.

Сократите коэффициенты.

Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями.