Квадрат диагоналей равен сумме квадратов сторон: изучаем свойства квадрата

Геометрия - один из фундаментов точных наук. Чтобы по-настоящему понять мир вокруг нас, нужно хорошо изучить базовые геометрические фигуры и их свойства. Одной из таких фигур является квадрат. В статье мы подробно разберем его определение, свойства и применение. Узнаете много нового и интересного про этот замечательный четырехугольник!

Основные свойства квадрата

Давайте начнем с определения. Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Он обладает следующими основными свойствами:

• Площадь квадрата равна квадрату стороны: S = a²
• Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делят углы пополам
• Квадрат можно вписать в окружность и описать окружность

Рассмотрим подробнее некоторые из этих свойств.

Площадь квадрата

Пусть дан квадрат со стороной a. Тогда его площадь вычисляется по формуле:

S = a²

Эту формулу можно легко доказать, воспользовавшись теоремой Пифагора. Проведем в квадрате диагональ и получим два равных прямоугольных треугольника. В одном из них сторона квадрата является гипотенузой, а диагональ — катетом. По теореме Пифагора имеем:

a² = c² + c²

где с — длина диагонали. Отсюда:

c² = 2*a²

Но площадь квадрата равна квадрату его стороны. Значит:

S = a²

Вот так просто мы доказали эту важную формулу!

Радиусы окружностей

Еще одним любопытным свойством квадрата является возможность вписать в него окружность и описать окружность.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата.

Это позволяет по известному радиусу найти сторону или диагональ квадрата и наоборот. Очень полезно при решении задач!

Доказать эти формулы тоже несложно. Рассмотрим сначала вписанную окружность. Поскольку она касается всех сторон квадрата, ее центр лежит на пересечении диагоналей. Значит, радиус этой окружности равен расстоянию от центра до вершины квадрата, то есть половине стороны.

Для описанной окружности доказательство аналогичное: ее центр совпадает с центром квадрата, поэтому радиус равен расстоянию от центра до вершины, что составляет половину диагонали.

Периметр квадрата

Периметр квадрата также связан с радиусами вписанной и описанной окружностей. Из формул для радиусов следует, что:

r_впис = a/2

r_опис = d/2 = a√2/2

где a - сторона квадрата, d - диагональ.

Периметр квадрата равен сумме всех его сторон. Поскольку стороны равны, получаем:

P = 4*a

Подставляя значения радиусов, имеем:

P = 2/r_впис * √2

P = 4/r_опис

Эти формулы тоже могут пригодиться в задачах на вычисление периметра квадрата.

Признаки квадрата

Чтобы определить, является ли данный четырехугольник квадратом, можно воспользоваться следующими признаками:

• Все стороны четырехугольника равны
• Все углы четырехугольника прямые (по 90 градусов)
• Диагонали четырехугольника равны, пересекаются под прямым углом и делят углы пополам

Достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из этих условий, и мы можем утверждать, что имеем дело с квадратом.

Применение свойств квадрата при решении задач

Рассмотрим несколько примеров задач, где нужно применить свойства квадрата:

1. Диагональ квадрата равна 2. Найдите его площадь.

   Решение. По теореме Пифагора для квадрата:

   c² = 2*a²

   где c - диагональ, a - сторона. Подставляя числовые значения, получаем:

   2² = 2*a²

   Отсюда a = 1. Тогда площадь квадрата равна:

   S = a² = 1² = 1

   Ответ: 1.

Задачи на радиусы окружностей

1. Радиус описанной окружности квадрата равен 2 см. Найдите сторону квадрата.

   Решение. По формуле для радиуса описанной окружности:

   r_опис = d/2

   где d - диагональ. Подставляя числовые значения, получаем:

   2 = d/2

   Отсюда d = 4 см. Из теоремы Пифагора для квадрата:

   c² = 2*a²

   где с - диагональ. Подставляя d=4, находим сторону:

   4² = 2*a²

   a = 2√2 см

   Ответ: 2√2 см.

Аналогично можно решать задачи и на вписанную окружность. Главное правильно записать соотношение между радиусом и стороной или диагональю.