Как найти наибольшее значение функции на отрезке: правила и примеры

Автор Екатерина Андреева December 18, 2023

Нахождение наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке - распространенная задача, с которой приходится сталкиваться в процессе изучения математики. Давайте разберемся, как грамотно подойти к ее решению.

Теоретические основы поиска экстремумов функции на отрезке

Прежде всего, вспомним определение непрерывной функции на отрезке. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если:

Она определена при всех значениях аргумента x из этого отрезка
Пределы слева и справа существуют и равны соответствующим значениям функции при всех точках отрезка [a;b]

Согласно теореме Вейерштрасса , непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) достигает на нем своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Эти определения тесно связаны с понятием производной. Напомним, что производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции. Поэтому для нахождения экстремумов функции на отрезке используется следующий алгоритм:

Находим производную функции и ее критические точки
Проверяем, какие точки принадлежат заданному отрезку
Вычисляем значение самой функции в найденных точках отрезка
Выбираем из полученных значений наибольшее и наименьшее

Рассмотрим также два особых случая:

Если критические точки отсутствуют, сразу переходим к нахождению значений функции на концах отрезка
Если критическая точка совпадает с концом отрезка, это упрощает вычисления

Пошаговые инструкции для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Давайте детально разберем каждый шаг алгоритма.

Шаг 1. Находим производную функции и определяем критические точки

Сначала находим производную исходной функции y = f(x) при помощи правил дифференцирования. Затем, приравниваем производную к нулю и находим все корни этого уравнения. Эти корни и будут критическими точками функции.

Например, для функции y = x³ - 3x + 1 производная равна y' = 3x² - 3. Приравниваем ее к нулю: 3x² - 3 = 0. Корни уравнения: x₁ = 1 и x₂ = -1. Это и есть критические точки.

Шаг 2. Проверяем, какие точки принадлежат заданному отрезку

Из всех найденных критических точек выбираем те, которые принадлежат заданному в условии отрезку [a;b]. Остальные точки для дальнейших расчетов не используются.

Например, если задан отрезок [-2;3], то из двух критических точек функции из предыдущего примера подходит только x₁ = 1.

Шаг 3. Находим значения функции в выбранных точках отрезка

Подставляем координаты отобранных критических точек в исходное уравнение функции и находим соответствующие значения функции y.

Для нашего примера в точке x₁ = 1 значение функции равно y = (1)³ - 3*(1) + 1 = -1.

Шаг 4. Сравниваем полученные значения и выбираем наибóльшее и наимéньшее

Также находим значения исходной функции в конечных точках заданного отрезка [a;b], то есть при x = a и x = b. Сравниваем все найденные значения функции и выбираем среди них наибольшее (это и есть M) и наименьшее (это и есть m).

Для отрезка [-2;3] конечные точки: x = -2 и x = 3. Соответственно, y(-2) = 7, y(1) = -1, y(3) = -10. Наименьшее значение - m = -10, наибольшее - M = 7.

Шаг 5. Записываем ответ

В ответе записываем найденные числа M и m:

На отрезке [-2;3] наименьшее значение функции равно -10, а наибольшее значение равно 7.

Теперь давайте на конкретных примерах разберем нахождение экстремумов различных функций на заданных отрезках.

Примеры решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций на отрезках

Пример 1. Линейная функция

Рассмотрим линейную функцию вида y = kx + b. Ее производная всегда постоянна и равна коэффициенту k при переменной x. Значит, у такой функции нет критических точек, и сразу найти значения функции надо на концах отрезка.

Например, найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 2x - 5 на отрезке [-3;4]. Здесь k = 2, значит y'(-3) = 2, y'(4) = 2. Вычисляем значения в концах отрезка: y(-3) = -11, y(4) = 3. Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 3.

Пример 2. Квадратичная функция

Для квадратичной функции вида y = ax^2 + bx + c находим производную y' = 2ax + b и приравниваем ее к нулю. Так получаем критические точки, проверяем их принадлежность отрезку и вычисляем значения функции.

Например, найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = x^2 - 4x + 5 на отрезке [1;3]. Производная y' = 2x - 4. Критическая точка x = 2 принадлежит отрезку. Тогда y(1) = 2, y(2) = 1, y(3) = 0. Ответ: m = 0, M = 2.

Пример 3. Тригонометрическая функция

Найти экстремумы тригонометрической функции немного сложнее из-за периодичности. Но алгоритм тот же: находим производную, приравниваем ее к нулю, находим остальные значения.

Например, найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 3sin(x) на отрезке [π/2;π]. Производная y' = 3cos(x). Критических точек внутри отрезка нет. Значит, y(π/2) = 3, y(π) = 0. Ответ: m = 0, M = 3.

При решении подобных задач часто допускаются различные ошибки. Давайте разберем типичные из них и способы их предотвращения.

Неправильный расчет производной

Самая распространенная ошибка - это неверное нахождение производной и, как следствие, неправильное определение критических точек. Чтобы ее избежать, нужно хорошо повторить правила дифференцирования и аккуратно вычислять производную.

Неверная проверка принадлежности точек отрезку

Иногда критические точки находят верно, но неправильно определяют, принадлежат ли они заданному отрезку. Чтобы этого не произошло, нужно быть внимательным и точно сверять координаты точек с границами отрезка.

Ошибки при подсчете значений функции

Следующая типичная ошибка - вычислительные погрешности при нахождении значений самой функции в найденных критических точках и концах отрезка. Часто это происходит из-за невнимательности или поспешности.

Чтобы избежать подобных ошибок, нужно:

Аккуратно подставлять координаты точек в функцию
Использовать калькулятор для проверки результатов
Выписывать промежуточные вычисления подробно

Неучтенные особые случаи

Иногда упускаются из виду некоторые особенности функции или заданного отрезка. К таким случаям относятся:

Отсутствие критических точек внутри отрезка
Совпадение критической точки с концом отрезка
Разрывы функции внутри отрезка

Чтобы учесть все нюансы, нужно хорошо представлять особенности рассматриваемой функции и тщательно анализировать заданный отрезок.

Некорректное сравнение результатов

Ошибки также случаются на финальном этапе - при сравнении найденных значений функции и определении наибольшего и наименьшего среди них. Это можно предотвратить следующими способами:

Выделять "кандидатов" в максимум и минимум
Сравнивать значения попарно
Проделать проверку на калькуляторе

Логарифмическая функция

Для логарифмической функции вида y = a·ln(x) + b производная имеет вид y' = a/x. Приравнивая ее к нулю, получаем, что критических точек у такой функции нет.

Например, найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 3·ln(x) на отрезке [2; e]. Производная y' = 3/x не обращается в нуль, значит сразу находим y(2) = 3·ln(2) и y(e) = 3. Минимум и максимум достигаются в концах отрезка.

Иррациональные функции

В случае иррациональных функций типа y = √x, y = 3√x и т.п. также не возникает критических точек, так как производная аналитически не существует в нуле. Поэтому опять же сразу переходим к нахождению значений на концах.

Например, найти наибольшее и наименьшее значение функции y = 2√x на отрезке [4; 9]. Значения функции: y(4) = 4, y(9) = 6. Ответ: m = 4, M = 6.

Тригонометрические функции

У тригонометрических функций вида sin(x), cos(x), tg(x) критические точки связаны с периодичностью. Их координаты можно найти из производной или графически.

Например, найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 5cos(2x) на отрезке [π/4; π]. Производная y' = -10sin(2x) обращается в нуль при x = π/4. Значит, M = 5, m = -5.

Комбинированные примеры

Рассмотрим также несколько комбинированных примеров, где в одной функции используются разные элементарные функции и возникают дополнительные особенности.

Пример 1. Функция с модулем

Рассмотрим функцию вида y = |x| + a. Так как модуль не дифференцируется в нуле, то точка x = 0 является критической.

Например, найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = |x| - 2 на отрезке [-3; 2]. Имеем одну критическую точку x = 0. Вычисляем значения функции: y(-3) = -5, y(0) = -2, y(2) = 0. Ответ: m = -5, M = 0.

Пример 2. Логарифмическая функция с модулем

Если функция содержит логарифм от модуля, то опять же возникает дополнительная критическая точка x = 0.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = ln(|2x - 1|) + 3 на отрезке [-2; 1]. Критическая точка x = 0.5. Вычисляем значения: y(-2) = ln(3) + 3, y(0.5) = ln(1) + 3 = 3, y(1) = ln(1) + 3 = 3. Ответ: m = ln(3) + 3, M = 3.

Пример 3. Тригонометрическая функция с модулем аргумента

Функции вида sin(|x|) или cos(|x|) также имеют дополнительную особенность в нуле из-за модуля аргумента.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 4cos(|2x - 1|) на отрезке [0; 2]. Критическая точка x = 0.5. Вычисляем: y(0) = 4, y(0.5) = 4cos(0) = 4, y(2) = 4cos(3) = -4. Ответ: m = -4, M = 4.

Как видно из примеров, различные комбинации элементарных функций могут приводить к дополнительным особенностям, которые необходимо правильно учитывать при решении задач на нахождение экстремумов.

Добавить комментарий