Пошаговое руководство: как умножать корни чисел

Корни чисел кажутся сложными для понимания? На самом деле, выполнить операцию умножения корней совсем не трудно, если знать несколько простых правил и последовательно следовать алгоритму действий. В этой статье мы разберем 3 основных способа умножения корней, рассмотрим типовые задачи и примеры с подробным объяснением каждого шага.

1. Умножение корней одинаковой степени

Для начала давайте определим, что из себя представляет корень числа. Корень - это обратная операция возведения в степень. Например, если мы возводим число 2 в квадрат и получаем 4, то корень квадратный из 4 будет равен 2. Обозначается корень знаком √ с указанием степени сверху слева, если она отличается от 2. Например:

• √4 = 2 - квадратный корень
• √8 = 2 - квадратный корень
• 3√8 = 2 - кубический корень

Итак, приступим к как умножать корни одинаковой степени.

Правило умножения корней одинаковой степени

Чтобы перемножить два корня, имеющих одинаковую степень (например, оба квадратные или оба кубические), нужно:

1. Оставить ту же степень корня
2. Перемножить числа под знаком корня

Нагляднее это выглядит в примерах:

Как видите, степень корня осталась прежней, а подкоренные числа перемножились.

Умножение корня на число

Как умножить число на корень квадратный или другой? Очень просто - нужно это число возвести в степень корня и записать под знаком. Например:

• 2 * √5 = √(2² * 5) = √10
• 3 * 3√7 = 3√(3³ * 7) = 9√7

При умножении корня на число, число как бы "затягивается" под корень и возводится в его степень.

Умножение нескольких корней

То же правило работает и при перемножении сразу нескольких корней одинаковой степени. Просто последовательно перемножаем подкоренные числа, сохраняя степень. Например:

√5 * √2 * √3 = √(5 * 2 * 3) = √30

3√2 * 3√3 * 3√5 = 3√(2 * 3 * 5) = 3√30

Теперь давайте как умножать квадратные корни и корни других степеней на практике - решим пару задач.

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислите: √12 * √20 * √15

Решение. Перемножаем подкоренные числа: √12 * √20 * √15 = √(12 * 20 * 15) = √3600

Далее производим упрощение - разлагаем число 3600 на множители так, чтобы под знак корня "вытащить" целую степень:
√3600 = √(3600) = √(6² * 10²) = 60

Ответ: 60

Пример 2. Найдите значение выражения: 3√32 * 2√50

Решение. 3√32 = 3√(2⁵) = 2 * 3√2 2√50 = 2√(5² * 2) = 5 * 2√2

Перемножаем полученные корни: 3√32 * 2√50 = 2 * 3√2 * 5 * 2√2 = 10 * 3√2

Ответ: 10 * 3√2

Как видите, умножение корней одинаковой степени - довольно простая операция. Главное помнить два основных правила:

• Сохраняем степень корня
• Перемножаем подкоренные числа

Следуя этим правилам и аккуратно выполняя все шаги, можно легко справиться с подобными задачами. В следующей части статьи мы рассмотрим более сложный случай - как умножать корни с разными степенями.

Перемножение корней с разными показателями

Рассмотрим более сложный случай - как умножать корни, у которых показатели степени (индексы) разные. Например, нужно перемножить квадратный и кубический корни. Для начала введем понятие наименьшего общего кратного показателей.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (сокращенно НОК) - это наименьшее число, которое делится на заданные числа без остатка. Например, НОК чисел 2 и 3 равно 6, так как 6 делится и на 2, и на 3.

Чтобы найти НОК показателей корней, нужно:

1. Записать все показатели
2. Найти их НОК

Это НОК и будет общим показателем, к которому нужно привести корни перед умножением.

Приведение корней к общему показателю

Чтобы привести корни к общему НОК, используется следующая формула:

n√a = (НОК/n)√(a(НОК/n))

Где:

• n - показатель исходного корня
• a - подкоренное число исходного корня
• НОК - найденное наименьшее общее кратное показателей

Поясним на примере:

Дано: 2√3 и 3√5

НОК показателей 2 и 3 равно 6

Приводим корни:

• 2√3 = (6/2)√(3^(6/2)) = 3√(3³)
• 3√5 = (6/3)√(5^(6/3)) = 2√(5²)

Получили корни с общим показателем 6. Теперь их можно перемножать как корни одинаковой степени.

Перемножение приведенных корней

Перемножаем полученные корни с общим показателем так же, как мы делали это в первой части статьи:

1. Сохраняем показатель корня
2. Перемножаем подкоренные числа

Типовые задачи на умножение корней с разными показателями

Рассмотрим классические примеры перемножения корней с разными степенями:

Пример 1. Вычислите: √2 * 4√3

Решение.

1. НОК показателей: 2 и 4. НОК = 4.
2. Приводим корни: √2 = 2√(2²); 4√3 = 4√(3¹)
3. Перемножаем: 2√(2²) * 4√(3¹) = 8√(4 * 3) = 8√12
4. Ответ: 8√12

Пример 2. Вычислите: 2√15 * 3√35

Решение.

1. НОК показателей: 2 и 3. НОК = 6
2. Приводим корни:
   2√15 = 6√(15
   ¹
   ) 3√35 = 6√(35
   ³
   )
3. Перемножаем: 6√(15¹) * 6√(35³) = 6√(15 * 35³) = 6√473125
4. Ответ: 6√473125