Как считают логарифмы? Основные способы вычисления

Логарифмы часто кажутся чем-то сложным и запутанным. На самом деле, это довольно простая математическая концепция, которая широко используется в вычислениях в физике, химии, экономике и других областях.

Что такое логарифм и его определение

Логарифм - это обратная операция возведения числа в степень. Например, если мы возводим 2 в 3 степень и получаем 8, то логарифм числа 8 по основанию 2 будет равен 3. То есть логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести число-основание, чтобы получить некоторое другое число.

Формально определение логарифма записывается так:

Логарифм числа b по основанию a обозначается log_ab и определяется как степень x, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. То есть:

log_ab = x, если a^x = b

Существует несколько разновидностей логарифмов:

• Натуральный логарифм (ln) - логарифм с основанием числа e ≈ 2,718
• Десятичный логарифм (lg) - логарифм с основанием 10
• Двоичный логарифм (lb) - логарифм с основанием 2

Как считают логарифмы? Например, чтобы посчитать логарифм 1000 по основанию 10, т.е. lg(1000), нужно найти степень, в которую надо возвести 10, чтобы получилось 1000. Это степень 3, так как 10³ = 1000. Значит, ответ: lg(1000) = 3.

Основные свойства логарифмов

Логарифмы обладают некоторыми важными свойствами, которые помогают в их вычислениях.

Основное логарифмическое тождество: Оно показывает, что любое число можно представить как логарифм по произвольному основанию с этим же числом в качестве аргумента (взятым в соответствующей степени).

alogbx = x

Также выполняются следующие свойства:

log_a(x*y) = log_ax + log_ay

log_a(x/y) = log_ax - log_ay

log_a(xⁿ) = n * log_ax

С помощью этих свойств можно значительно упростить многие вычисления с логарифмами.

Пошаговые примеры вычисления логарифмов

Давайте последовательно разберем несколько конкретных примеров подсчета различных логарифмов.

Пример 1. Вычислить значение ln(5). Это натуральный логарифм числа 5.

1. Записываем определение натурального логарифма: ln x = log_e x
2. Подставляем число 5 вместо x:
3. Ищем степень, в которую надо возвести e, чтобы получилось 5. Это степень 1, так как e¹ ≈ 2,718...
4. Значит, ответ: ln(5) = 1

Таким образом, последовательно применяя определение логарифма и подбирая подходящую степень, можно найти логарифм любого числа по заданному основанию.

Далее можно привести еще несколько похожих примеров с подробным решением для закрепления навыка.

В данной части статьи показан базовый алгоритм вычисления логарифмов и продемонстрировано его применение на простом примере натурального логарифма. В следующих частях будут рассмотрены особенности подсчета других видов логарифмов, а также использование свойств для упрощения вычислений.

Пример вычисления десятичного логарифма

Рассмотрим вычисление десятичного логарифма числа 125, то есть lg(125).

1. Записываем определение: lg(x) = log₁₀x
2. Подставляем 125 вместо x:
3. Ищем степень, в которую надо возвести 10, чтобы получилось 125. Это степень 3, поскольку 10³ = 1000.
4. Значит, ответ: lg(125) = 3.

Таким образом, мы нашли десятичный логарифм числа, последовательно применив его определение.

Вычисление логарифма от переменной

Часто нужно найти логарифм не от конкретного числа, а от переменной. Например, вычислить lg(x). Для этого также применяется стандартный алгоритм:

1. Записываем: lg(x) = log₁₀x
2. В данном случае аргумент x - это переменная
3. Следовательно, ответом будет: lg(x) = log₁₀x

Логарифм от переменной оставляют в таком виде и не вычисляют конкретное число.

Применение свойств логарифмов

Рассмотрим сложное выражение с логарифмом и упростим его с использованием известных свойств:

Исходное выражение: log₂(x⁵*y)

1. Применяем свойство логарифма произведения:
2. log(xy) = logx + logy
3. Получаем: 5*log₂x + log₂y
4. Используем свойство логарифма степени:
5. log(xⁿ) = n*logx
6. Окончательный ответ: 5*log₂x + log₂y

Таким образом, благодаря свойствам, сложное выражение с логарифмом может быть значительно упрощено.

Вычисление натурального логарифма

Рассмотрим пошаговый алгоритм вычисления натурального логарифма ln(10):

1. Записываем: ln(x) = log_ex
2. Подставляем 10 вместо x:
3. Ищем степень, в которую надо возвести e, чтобы получилось 10. Это степень примерно 2,3.
4. Значит, ответ: ln(10) ≈ 2,3

Аналогично, считают натуральный логарифм любого числа, применяя шаги алгоритма.

Способы оценки логарифма

Если точно посчитать логарифм сложно, то его можно оценить. Для этого считают логарифмы простых "опорных" значений и оценивают положение искомого логарифма между ними. Например, чтобы оценить ln(6):

1. Берем простые значения, в данном случае ln(5)=1, ln(7)=2.
2. Так как 6 находится между 5 и 7, то ответ: ln(6) должен быть между 1 и 2.

Вычисление логарифмов с помощью калькулятора

Если посчитать логарифм вручную сложно, можно воспользоваться калькулятором или компьютерными программами.

Большинство калькуляторов имеют кнопки для вычисления основных логарифмов: ln, lg, lb. Нужно только правильно ввести аргумент.

Например, чтобы найти \(ln(5)\), набираем на калькуляторе: ln(5) = и получаем ответ ≈1,61.

Для вычисления логарифма по произвольному основанию a используется специальный режим:

1. Нажимаем кнопку "log"
2. Вводим сначала аргумент, потом основание:
3. Например: log(125,10) = 3

Использование таблиц логарифмов

Еще один способ упростить вычисления - использовать готовые таблицы значений логарифмов.

Такие таблицы содержат логарифмы распространенных чисел с точностью до 3-4 знаков после запятой.

Чтобы найти логарифм, достаточно найти в таблице строку с искомым числом и прочитать логарифм напротив него.

Приближенное вычисление логарифмов

Иногда достаточно найти приближенное значение логарифма для решения задачи.

В таких случаях используют следующие приемы:

• Округление аргумента до ближайшей степени основания
• Линейная интерполяция между соседними известными значениями
• Использование 2-3 значащих цифр логарифма

Это позволяет получить приемлемый результат без вычислений с большой точностью.

Погрешности вычислений логарифмов

При вычислении логарифмов возникают погрешности округления.

Погрешность зависит от используемого метода:

• Аналитические формулы - наименьшая погрешность
• Компьютер - средняя погрешность
• Калькуляторы и таблицы - большая погрешность

Для уменьшения погрешности можно:

• Использовать больше значащих цифр
• Применять разные методы и сравнивать результаты