Как находить площадь фигуры по клеткам: простой способ вычисления для любых геометрических форм

Умеете ли вы быстро посчитать площадь любой фигуры на клетчатой бумаге - пусть даже она имеет сложную форму с вырезами и изгибами? А ведь эти знания могут сильно пригодиться в жизни! В этой статье мы познакомим вас с гениально простым и универсальным способом - формулой Пика. С ее помощью вычисление площадей станет для вас раз плюнуть!

Обзор существующих способов вычисления площадей

Для вычисления площадей простых фигур, таких как треугольник, прямоугольник, параллелограмм, существуют хорошо известные формулы. Но что делать, если фигура имеет сложную форму и не подходит ни под одну из этих формул?

В таких случаях обычно используют два метода:

• Метод разбиения фигуры на более простые (треугольники, прямоугольники), для которых уже есть формулы площадей
• Метод дополнения фигуры до прямоугольника или другой фигуры, площадь которой легко найти

Однако оба эти метода имеют свои недостатки. Во-первых, они довольно трудоемки и часто ведут к громоздким вычислениям. Во-вторых, они не универсальны - для каждой конкретной фигуры нужно искать свой способ разбиения или дополнения.

Формула Пика - прорыв в вычислении площадей

Революцию в области вычисления площадей произвела так называемая формула Пика. Эту гениально простую формулу для нахождения площади любого многоугольника на клетчатой бумаге открыл в начале XX века немецкий математик Герман Минковский.

Вот как выглядит формула Пика:

S = В + Г/2 - 1

где S - искомая площадь фигуры

B - количество точек внутри фигуры

Г - количество точек на границе фигуры

Как видите, эта формула поразительно проста! Не нужно знать ни высоты, ни стороны, ни углы - достаточно лишь посчитать количество точек (или "узлов") внутри фигуры и на ее границе. При этом абсолютно неважно, какая у фигуры форма и сколько у нее сторон - формула Пика подходит для любых многоугольников!

Именно в этой универсальности и заключается главное достоинство формулы Пика. С ее помощью можно мгновенно вычислить площадь даже очень сложных многоугольных фигур, не прибегая к громоздким построениям и вычислениям. Просто посчитай количество точек - и готово!

Как правильно применять формулу Пика

Итак, мы убедились, что формула Пика - это очень удобный и универсальный способ для вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Давайте теперь разберем пошаговую инструкцию ее применения.

1. Нарисуйте фигуру на клетчатой бумаге так, чтобы все вершины находились в узлах (точках пересечения линий)
2. Аккуратно посчитайте, сколько узлов находится внутри контура фигуры - это число В
3. Точно так же подсчитайте количество узлов, через которые проходит контур фигуры - это число Г
4. Подставьте полученные числа В и Г в формулу Пика и вычислите площадь S

При этом обязательно нужно следить за точностью подсчетов, чтобы не допустить ошибку. Если фигура большая и узлов много, рекомендуется раскрашивать просчитанные уже узлы, чтобы не сбиться со счета.

Также важно правильно определять, какие узлы считать внутренними, а какие граничными. Граничный узел лежит строго на линии контура, а внутренний - полностью внутри фигуры. Бывают неоднозначные случаи, когда узел лежит как бы "на грани" - тогда решать вам.

Примеры использования формулы Пика

Чтобы лучше разобраться в применении формулы Пика для вычисления площадей, давайте рассмотрим несколько конкретных примеров для разных типов фигур.

Простые фигуры

Начнем с простого примера - вычисления площади равностороннего треугольника со стороной 3 клетки (см. рисунок).

Подсчитываем узлы: В = 3 (внутри треугольника), Г = 6 (по контуру). Подставляем в формулу Пика: S = 3 + 6/2 - 1 = 4,5 клетки. Аналогично можно вычислить площадь круга, квадрата, пятиугольника и др.

Сложные фигуры

Рассмотрим теперь несколько примеров для более сложных фигур с вогнутыми участками, вырезами, "дырами" и так далее.

Для таких фигур формула Пика тоже прекрасно работает - нужно только аккуратно посчитать все узлы. Попробуйте сами вычислить площади приведенных выше двух фигур, используя эту универсальную формулу!

Сравнение с традиционными методами

На некоторых примерах мы убедились, что формула Пика позволяет легко и быстро находить площади даже очень сложных фигур. А теперь давайте сравним ее с традиционными методами.

Например, возьмем фигуру 1 из предыдущего раздела. Чтобы найти ее площадь методом разбиения, потребуется:

1. Разбить фигуру на 4 части
2. Найти площадь каждой части по отдельности
3. Сложить все площади

Как видите, это очень громоздкий процесс! А по формуле Пика достаточно всего лишь посчитать узлы - и сразу получить результат!

Другие области применения формулы Пика

Помимо нахождения площадей геометрических фигур, формула Пика может использоваться и в других областях. Рассмотрим несколько примеров.

Подсчет площади участков на карте

Одно из удобных применений - это подсчет площадей участков земли, лесов, водоемов и т.п. на географических или топографических картах, которые тоже разлинованы определенным образом.

Например, чтобы узнать площадь фигуры клеткам на приведенной карте, достаточно подсчитать узлы внутри нее и по контуру и подставить в знакомую нам формулу Пика.

Расчет объемов тел вращения

Интересный факт - с помощью формулы Пика можно также рассчитывать объемы некоторых тел вращения, например цилиндра, если известно сечение, площадь которого и вычисляется по этой формуле.

То есть достаточно вычислить площадь круга - сечения цилиндра - и затем, зная его высоту, легко найти нужный объем.

Определение концентрации вещества

Еще одно интересное применение формулы Пика за пределами геометрии - это определение концентрации какого-либо вещества в жидкости или газе. Например, при анализе воды или воздуха.

Представим, что имеется пробирка с веществом, и частицы этого вещества равномерно распределены внутри. Подсчитав их число внутри условных "клеток", можно определить плотность распределения частиц, а значит - и концентрацию искомого вещества.

Получается, что формула Пика пригодится даже химикам и экологам - в то время как изначально она разрабатывалась в рамках чистой математики!

Вычисление площадей в повседневной жизни

Кроме решения различных математических задач, знание того, как находить площадь фигуры по клеткам, может сильно пригодиться и в самых обычных бытовых ситуациях.

Например, вы решили сделать ремонт в квартире и вам нужно подсчитать, сколько обоев или плитки потребуется для отделки той или иной комнаты. Или вы планируете разбить клумбу в саду определенной формы и вам надо посчитать, сколько земли для этого нужно завезти.

Во всех таких и многих других случаях на выручку придет хорошо знакомая нам формула Пика - ведь она позволяет максимально просто и быстро рассчитать площадь фигуры клеткам практически любой формы!