Вынесение за скобки общего множителя - основа решения уравнений

Вынесение общего множителя за скобки - один из ключевых приемов в алгебре, позволяющий упрощать уравнения и выражения. Давайте разберемся, что это такое и как применять на практике.

Что такое вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки - это прием, при котором в сумме нескольких слагаемых находится множитель, общий для всех слагаемых, и выносится за скобки.

Например, рассмотрим сумму 3x + 6x. Здесь общий множитель для обоих слагаемых - x. Мы можем вынести его за скобки:

3x + 5x = x(3 + 5)

То же самое можно проделать и в более сложных суммах. Суть остается та же - мы находим общий для всех слагаемых множитель и выносим его за скобки. Это позволяет упростить исходное выражение.

Правила вынесения общего множителя

Чтобы правильно выполнить вынесение общего множителя за скобки, нужно придерживаться определенных правил:

1. Найти множитель, общий для всех слагаемых в сумме
2. Записать этот множитель перед скобками
3. В скобках записать сумму слагаемых без общего множителя

Давайте рассмотрим эти правила на конкретном примере:

5x + 3x - 2x

Здесь общим множителем для всех трех слагаемых является x. Согласно правилам:

1. Общий множитель - x. Записываем его перед скобками.
2. В скобках пишем сумму слагаемых без множителя x: 5 + 3 - 2

Итоговое выражение:

5x + 3x - 2x = x(5 + 3 - 2)

Как видите, путем вынесения x за скобки мы значительно упростили исходную сумму.

Применение при решении уравнений

Вынесение общего множителя за скобки особенно полезно при решении различных уравнений. Это позволяет упростить уравнение и приблизиться к ответу.

Например, решим уравнение:

4(x + 3) - 3(x + 3) = 14

Здесь в обеих частях уравнения присутствует выражение x + 3. Вынесем его за скобки:

4(x + 3) - 3(x + 3) = 14
(x + 3)(4 - 3) = 14

Далее раскроем скобки и решим получившееся уравнение:

(x + 3) · 1 = 14 x + 3 = 14 x = 11

Как видите, благодаря вынесению множителя x + 3 решение существенно упростилось. Этот прием часто применяется при решении различных уравнений.

Освоив вынесение общего множителя за скобки, вы сможете гораздо быстрее решать уравнения любой сложности!

Вынесение отрицательных множителей

Помимо обычных положительных множителей, за скобки можно выносить и отрицательные множители. Рассмотрим пример:

-3x - 5x + 2x

Здесь общим множителем является -1. Выносим его за скобки:

-3x - 5x + 2x = -1(3x + 5x - 2x)

Обратите внимание, что при вынесении отрицательного множителя знаки в скобках меняются на противоположные. Это важное свойство, которое нужно учитывать на практике.

Вынесение множителей в дробях

Вынесение общего множителя можно применять не только к обычным суммам, но и к дробям. Например:

5x/3 + 3x/9

Здесь общим множителем является выражение x/3. Выносим его за скобки:

5x/3 + 3x/9 = x/3(5 + 3/3) = х/3(5+1)

Как видите, правила вынесения те же, но работают они и для дробей.

Вынесение общего множителя за скобки 7 класс

Обычно вынесение общего множителя вводится в 7 классе в рамках темы «Тождественные преобразования алгебраических выражений». К этому моменту учащиеся уже знакомы с основными правилами работы с множителями и умеют находить наибольший общий делитель чисел.

На основе этих знаний в 7 классе и происходит знакомство с вынесением общего множителя – сначала на простых суммах одночленов и двучленов, затем в более сложных многочленах. К концу 7 класса от учащихся требуется умение самостоятельно находить и выносить общий множитель в различных выражениях.

Полезные свойства и формулы

При выполнении вынесения общего множителя за скобки полезно помнить несколько важных свойств и формул:

• При вынесении отрицательного множителя знаки в скобках меняются на противоположные
• Множитель 1 выносить за скобки не имеет смысла
• Можно выносить множители из-под знаков корня, степени и других операций

Эти свойства помогут вам быстрее ориентироваться при вынесении множителей в сложных выражениях и решении задач.