Многогранники - это геометрические фигуры: виды, формулы, свойства

Многогранники - удивительные геометрические фигуры, которые окружают нас повсюду. Давайте разберемся, что же представляют собой эти фигуры, какие бывают виды многогранников, какие формулы описывают их свойства.

1. Определение многогранников

Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограничено конечным числом плоских многоугольников. Элементами многогранника являются:

• Грани - плоские многоугольники, из которых состоит многогранник
• Ребра - стороны многоугольников-граней
• Вершины - точки пересечения ребер

Примерами простейших многогранников являются тетраэдр (четырехгранник) и октаэдр (восьмигранник). Их гранями служат треугольники.

2. Виды многогранников

Многогранники это разнообразные геометрические фигуры, которые делятся на несколько видов.

Выпуклые и невыпуклые

Если многогранник целиком располагается по одну сторону от каждой своей грани, то он называется выпуклым. В противном случае многогранник невыпуклый.

В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при любой вершине меньше 360°.

Правильные многогранники

Правильные многогранники - это выпуклые многогранники, у которых все грани являются правильными одинаковыми многоугольниками, а все диагонали равны.

Существует только 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Другие виды

Кроме того, различают:

• Полуправильные многогранники
• Звездчатые многогранники

Свойства и примеры таких многогранников будут рассмотрены далее.

3. Формулы для выпуклых многогранников

Для выпуклых многогранников справедливо важное соотношение, выражаемое теоремой Эйлера:

В - P + Г = 2

Здесь:

• B - число вершин
• P - число ребер
• Г - число граней

Эта формула позволяет находить одну из величин, если известны две другие. Например, для куба:

• B = 8 (вершин)
• Г = 6 (граней)

Отсюда находим число ребер:

P = B + Г - 2 = 8 + 6 - 2 = 12

Помимо теоремы Эйлера, для конкретных многогранников существуют формулы площади поверхности и объема. Рассмотрим их на примере тетраэдра.

Формулы для тетраэдра

Пусть а - длина ребра тетраэдра, а d - высота одной из его боковых граней. Тогда:

1. Площадь боковой грани = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a²
2. Площадь полной поверхности = 2ad
3. Объем = \(\frac{1}{3}\)a²d

3. Формулы для выпуклых многогранников

Аналогичные формулы площади поверхности и объема существуют и для других видов выпуклых многогранников:

• Октаэдр
• Призма
• Параллелепипед
• Куб

Например, для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b и c справедливы следующие соотношения:

1. Площадь полной поверхности = 2(ab + ac + bc)
2. Объем = abc

Зная форму конкретного многогранника и формулы для этой формы, можно вычислить различные его характеристики.

4. Призма и ее свойства

Одним из важных видов многогранников является призма. Рассмотрим подробнее ее определение и свойства.

Элементы призмы

Призма образована двумя равными и параллельными многоугольными основаниями, соединенными боковыми гранями-параллелограммами.

Основные элементы призмы:

• Основания - два равных многоугольника
• Боковые грани
• Высота - перпендикуляр к основаниям
• Боковое ребро

Виды призм

Различают прямую и наклонную призму. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основаниям, а боковые грани - прямоугольники.

5. Параллелепипед

Если основания призмы являются параллелограммами, то такая призма называется параллелепипедом. Рассмотрим его более подробно.

Элементы параллелепипеда

У параллелепипеда все грани (шесть штук) являются параллелограммами. Противоположные грани паралельны и равны.

6. Пирамиды

Пирамида - еще один распространенный вид многогранника. Рассмотрим определение и свойства пирамид.

Определение пирамиды

Пирамида - многогранник, у которого одна грань (основание) является многоугольником, а остальные грани (боковые грани) — треугольники с общей вершиной.

Элементы пирамиды

Основными элементами пирамиды являются:

• Основание - многоугольная грань
• Боковые грани - треугольники
• Вершина пирамиды - точка пересечения боковых ребер
• Высота пирамиды - перпендикуляр из вершины к плоскости основания
• Апофема - высота боковой грани пирамиды, опущенная на плоскость основания

Правильная пирамида

Если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а все боковые грани - равные правильные треугольники, то такая пирамида называется правильной.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению периметра основания на апофему пирамиды.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды.

Построение пирамиды

Для построения пирамиды, зная ее основание и боковые ребра, можно использовать следующий алгоритм:

1. Начертить основание пирамиды (многоугольник)
2. Отметить центр основания - это будет вершина пирамиды
3. Соединить вершину с каждой вершиной многоугольника-основания
4. Полученные треугольники будут боковыми гранями пирамиды

Для построения правильной пирамиды все боковые ребра должны быть равной длины.

Применение пирамид

Благодаря своей форме, пирамиды находят применение в:

• Архитектуре (крыши зданий)
• Дизайне интерьеров

Также пирамиды можно использовать как основу для различных макетов и моделей.

7. Задачи на многогранники

Решение задач - важная часть изучения любой темы. Давайте рассмотрим примеры задач на тему "Многогранники".

Пример задачи 1

Дан куб со стороной a. Найти:

1. Количество вершин
2. Количество ребер
3. Количество граней
4. Площадь полной поверхности
5. Объем куба

Решение:

1. У куба в каждой вершине сходятся 3 ребра. Так как всего ребер 12 (см. ниже), то вершин 8
2. Каждая грань куба имеет 4 ребра. Всего 6 граней. Значит, ребер 6 * 4 = 24
3. У куба 6 квадратных граней
4. S = 6a^2
5. V = a^3

Пример задачи 2

В правильной четырехугольной пирамиде все боковые ребра равны 13 см, а высота равна 20 см. Найти площадь основания и объем пирамиды.

Решение:

Используем формулы для правильной пирамиды...

Разбор решения задачи 2

Воспользуемся тем, что в правильной пирамиде апофема равна половине бокового ребра. Тогда апофема равна 13/2 = 6,5 см.

Периметр основания пирамиды равен 4∙13 = 52 см.

По формуле площадь боковой поверхности пирамиды S = ph, где p - периметр основания, h - апофема. Подставляя значения, получаем:

S = 52⋅6,5 = 338 (см2)

Объем пирамиды вычисляем по формуле V = Сосн⋅H/3, где Сосн - площадь основания, H - высота.

Сосн = 338/(4⋅6,5) = 13 (см2)

Подставляя это и H = 20 см в формулу для объема, находим:

V = 13⋅20/3 = 130/3 (см3)

Пример задачи 3

Дан прямоугольный параллелепипед. Найти площадь полной поверхности и объем, если длина его ребер: 3 см, 4 см и 7 см.

Решение:

Разбор решения задачи 3

Воспользуемся известными формулами для прямоугольного параллелепипеда:

S = 2(ab + ac + bc)

V = abc

где a, b, c - длины ребер параллелепипеда.

Подставляя числовые значения, имеем:

a = 3 см

b = 4 см

c = 7 см

S = 2(3·4 + 3·7 + 4·7) = 2(12 + 21 + 28) = 122 (см2)

V = 3·4·7 = 84 (см3)

Ответ: площадь полной поверхности равна 122 см2, объем равен 84 см3.

8. Применение многогранников

Многогранные формы широко используются в различных областях.

В архитектуре и строительстве

Многогранные формы часто встречаются в архитектуре:

• Крыши зданий имеют форму пирамиды или призмы
• Фасады могут повторять очертания куба или параллелепипеда
• Арочные конструкции напоминают цилиндр

Прочность и устойчивость многогранных опор используется при возведении мостов, башен, небоскребов.

В дизайне

Многогранные формы применяются в дизайне:

• В интерьере для создания геометрических композиций
• В мебели и предметах обстановки
• В художественных инсталляциях

Такие формы придают интерьерам и объектам выразительность, динамику, футуристичность.

В технике

Конструкция многих технических изделий основана на использовании свойств многогранников: