Умножение и деление обыкновенных дробей: основы вычислений

Умножение и деление - одни из самых сложных операций при работе с обыкновенными дробями. Однако знание четких правил и алгоритмов позволит вам без труда справляться с задачами любой сложности. В нашей новой статье мы не только напомним основные теоретические положения, но и разберем множество практических примеров. Уверены, вы откроете для себя много нового и сможете кардинально повысить свои навыки!

Основные понятия

Для начала давайте определим, что такое обыкновенная дробь. Это часть целого, записанная в виде двух чисел - числителя и знаменателя, разделенных горизонтальной чертой. Например: 3⁄5, 7⁄2.

Перед тем как перейти к умножению и делению обыкновенных дробей,

1. Вспомним правила сложения и вычитания.
2. На примерах рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю - это важный этап в ряде случаев.
3. Также упомянем особые виды дробей - неправильные и смешанные .

Умножение обыкновенных дробей

Итак, правило умножения обыкновенных дробей выглядит следующим образом:

1. Умножаем числитель первой дроби на числитель второй. Результат записываем как числитель произведения.
2. Умножаем знаменатель первой дроби на знаменатель второй. Результат записываем как знаменатель произведения.

Для упрощения вычислений можно предварительно сократить любой множитель числителя на множитель знаменателя:

Здесь мы сократили 25 на 5, 20 на 5, 27 на 3, 12 на 3.

Также можно умножить обыкновенную дробь на натуральное число - для этого достаточно умножить числитель дроби:

3 × 5⁄7 = 3 × 5⁄7 = 15⁄7

На этом основы умножения дробей заканчиваются. Остается только много практиковаться в решении задач и постепенно оттачивать свои навыки. Не получается с первого раза - не беда! Главное не сдаваться и повторять правила .

Далее мы подробно разберем процесс деления обыкновенных дробей и применим полученные знания на практике.

Деление обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей выполняется по следующим правилам:

1. Переворачиваем вторую дробь (меняем местами числитель и знаменатель).
2. Умножаем числитель первой дроби на знаменатель перевернутой второй дроби. Результат записываем как числитель частного.
3. Умножаем знаменатель первой дроби на числитель перевернутой второй дроби. Результат записываем как знаменатель частного.

Рассмотрим на примере:

2⁄3 : 5⁄12 = 2⁄3 × 12⁄5 = 2×12⁄3×5 = 24⁄15

Здесь мы перевернули вторую дробь, умножили числители и знаменатели, получили ответ.

Проверка правильности деления дробей

Чтобы проверить, верно ли мы выполнили деление дробей, используется простой прием: полученное частное умножается на делитель.

В нашем примере будет так:

24⁄15 × 5⁄12 = 2⁄3

Проверка подтверждает, что изначальное делимое (²⁄₃) мы получили верно. Значит, деление выполнено без ошибок.

Деление натурального числа на дробь

Если нужно разделить целое число на обыкновенную дробь, поступаем так:

1. Записываем целое число в виде дроби с единицей в знаменателе.
2. Делим первую дробь на вторую по стандартным правилам.

Наглядный пример:

15 : 2⁄5 = 15⁄1 : 2⁄5 = 15⁄1 × 5⁄2 = 15×5⁄1×2 = 75⁄2

Дробные выражения

При работе с обыкновенными дробями часто приходится иметь дело с целыми дробными выражениями. Порядок действий такой же, как и с обычными числами: сначала выполняются действия в скобках, затем идут умножение и деление (слева направо), после этого сложение и вычитание (тоже слева направо).

Например:

(1⁄2 + 2⁄3) × (3⁄4 - 1⁄6)

Сначала выполняем действия в скобках, потом умножаем дроби. Получаем ответ ⁷⁄₁₂.

Упрощение дробных выражений

При вычислении дробных выражений часто получаются громоздкие дроби, которые можно упростить. Для этого используем такие приемы:

• Сокращение дробей (на общий множитель в числителе и знаменателе).
• Приведение дробей к общему знаменателю.
• Группировка одинаковых слагаемых.

Рассмотрим пример:

(1/3 + 3/5) : (2/9 - 1/15)

1. Приводим дроби к общему знаменателю 15.
2. Группируем одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе.
3. Сокращаем результат на общий множитель 3.

В итоге получаем: ¹⁴/_45.