Внутренний угол - определение, особенности расчета и формула

Автор Легина Марина December 19, 2023

Внутренние углы играют важную роль при изучении свойств геометрических фигур. Знание основ работы с ними пригодится инженерам, архитекторам, дизайнерам и другим специалистам для решения практических задач.

Определение внутреннего угла

Внутренний угол - это угол, образованный двумя прямыми, идущими из одной вершины. Он может быть как острым, так и тупым. Рассмотрим на рисунке:

Здесь ∠ABC - пример внутреннего угла. Его вершина - точка B. А стороны угла - отрезки AB и BC.

Внутренние углы часто используются для определения формы и размеров различных геометрических фигур. Например, сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника всегда равна $(n - 2) · 180°$. Это очень важное свойство при решении многих задач.

Внутренние углы многоугольников

Для многоугольников можно выделить два вида внутренних углов:

Углы при вершинах многоугольника
Углы между сторонами многоугольника

Первые образуются сторонами самого многоугольника, а вторые - его диагоналями.

Важное свойство: количество внутренних углов многоугольника равно его количеству сторон. Это легко доказать, если последовательно соединить все точки многоугольника отрезками. Получится ровно столько треугольников, сколько сторон имеет многоугольник. А в каждом треугольнике - 3 угла.

Например, для четырехугольника число внутренних углов = 4, для пятиугольника - 5 и т.д.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Обозначим через $n$ - количество сторон многоугольника. Тогда формула для расчета суммы его внутренних углов:

$S = (n - 2) · 180°$

Где $n - 2$ соответствует количеству треугольников, на которые можно разбить многоугольник с помощью диагоналей. А $180°$ - сумма углов в одном треугольнике.

Несложно посчитать сумму для конкретных многоугольников:

Треугольник ($n = 3$): $S = 180°$
Четырехугольник ($n = 4$): $S = 360°$
Пятиугольник ($n = 5$): $S = 540°$

И так далее. Это универсальное правило, позволяющее быстро рассчитать сумму для любого выпуклого многоугольника.

Внутренние углы треугольника

Внутренний угол треугольника образуется двумя сторонами этого треугольника. У каждого треугольника их ровно 3 штуки. Рассмотрим основные свойства:

Сумма внутренних углов	Всегда равна 180°
Виды по углам	Остроугольный Прямоугольный Тупоугольный
Формула площади	$ S = \frac{1}{2}ah $

Здесь $h$ - высота, опущенная на сторону $a$.

Для прямоугольного треугольника также справедливы известные соотношения между катетами и гипотенузой по теореме Пифагора. Это позволяет эффективно решать множество задач на вычисление элементов.

Внешние и внутренние углы

Помимо внутренних, у любого многоугольника также есть и внешние углы.

Внешний угол образуется продолжением одной из сторон многоугольника и второй, прилегающей стороной.

На рисунке это ∠ACD. Важное свойство:

Сумма внешнего угла и соответствующего ему внутреннего угла всегда равна 180°.

Это следует из того, что они являются смежными. А смежные углы всегда дополняют друг друга до 180°.

Сумма же всех внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от количества сторон и всегда равна $360°$. Это тоже полезное на практике свойство.

Внутренние накрест лежащие углы

Внутренние накрест лежащие углы образуются при пересечении двух прямых третьей (секущей). Например, на рисунке эти углы обозначены γ и β:

Они лежат внутри углов между пересекающимися прямыми и по разные стороны от секущей.

Свойства внутренних накрест лежащих углов

Если прямые a и b параллельны, то сумма внутренних накрест лежащих углов при них равна 180°:

$$γ + β = 180°$$

Это один из признаков параллельности прямых в геометрии. И наоборот, если сумма таких углов равна 180°, то прямые параллельны.

Частный случай - когда накрест лежащие углы равны. Это возможно только если:

Прямые a и b параллельны
Секущая c перпендикулярна к ним

То есть выполняется условие: $a || b, c ⊥ a, c ⊥ b$.

Фонтан в форме правильного двенадцатиугольника на площади

Угол полного внутреннего отражения

Рассмотрим интересное оптическое явление - полное внутреннее отражение света. Представим световой луч, падающий из оптически более плотной среды в менее плотную под некоторым углом α:

Существует предельный угол падения, называемый углом полного внутреннего отражения, при котором весь свет отражается обратно в первую среду. Это важное свойство нашло применения в оптических приборах и волоконной оптике.

Применение полного внутреннего отражения

Эффект полного внутреннего отражения широко используется в оптических системах передачи информации. Например, в волоконно-оптических линиях связи.

Принцип работы основан на следующем: световой сигнал посылается по оптическому волокну, претерпевая многократные отражения от стенок. Угол падения выбирается больше угла полного внутреннего отражения, поэтому свет распространяется по волокну практически без потерь.

Это позволяет передавать информацию на большие расстояния с малыми искажениями. Такие линии связи активно используются в высокоскоростном интернете и телекоммуникациях.

Внутренний угол правильного многоугольника

Правильный многоугольник - это фигура, у которой все стороны и внутренние углы правильного многоугольника равны. Рассмотрим свойства таких углов подробнее.

Обозначим:

$n$ - количество сторон
$α$ - величина каждого внутреннего угла правильного многоугольника

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника:

$$n · α = (n - 2) · 180°$$

Отсюда: $$\alpha = \frac{(n - 2) · 180°}{n}$$

Эта формула позволяет для заданного $n$ найти величину каждого внутреннего угла правильного многоугольника.

Расчет элементов правильных многоугольников

Используя формулу для внутреннего угла правильного многоугольника, можно вычислить и другие элементы таких фигур.

Например, найдем длину стороны s правильного шестиугольника со стороной описанной окружности R:

По формуле: $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$
Для n = 6: $\alpha = 120°$
Из рисунка: $R = \frac{s}{2\sin60°}$
Подставляя значения: $s = 2R\sin60°$

Аналогично можно получить формулы для сторон, диагоналей, радиусов вписанной и описанной окружностей любых правильных многоугольников через известные параметры.

Построение правильных многоугольников

Знание свойств внутренних углов правильного многоугольника позволяет достаточно просто строить такие фигуры с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим алгоритм на примере пятиугольника:

Чертим окружность произвольного радиуса
Делим ее на 5 равных частей с помощью циркуля
Соединяем точки деления хордами

Получаем правильный пятиугольник. Количество делений соответствует желаемому числу сторон фигуры. Этот метод основан на свойствах центральных и вписанных углов в окружности.

Обобщение на пространственные фигуры

Понятие внутреннего угла правильного многоугольника обобщается на правильные многогранники в пространстве. Например, платоновы тела, имеющие правильные грани.

Для них также справедливы формулы, связывающие количество сторон n, внутренние углы правильного многогранника и сумму всех плоских углов.

Это позволяет изучать свойства правильных многогранников, опираясь на аналогию с двумерными штриховыми фигурами.

Практическое применение расчетов элементов правильных многоугольников

Умение вычислять длины сторон, углы, радиусы описанной и вписанной окружности для правильных многоугольников важно для решения множества практических задач.

Например, при проектировании архитектурных сооружений - зданий, храмов и других построек, имеющих правильную геометрическую форму. Знание точных размеров и пропорций позволяет грамотно спланировать конструкцию.

Пример из строительной практики

Пусть необходимо спроектировать купол в форме правильного восьмиугольника с заданной длиной стороны а. С помощью известных формул можно рассчитать:

Внутренний угол правильного восьмиугольника: $\alpha = 135°$
Радиусы вписанной и описанной окружностей
Длину диагонали восьмиугольника

Эти данные нужны, чтобы правильно построить несущие элементы купола - арки, нервюры, стропила и т.д.

Использование в дизайне

Свойства правильных многоугольников также находят применение в дизайне - оформлении интерьеров, ландшафтном дизайне, проектировании парков, скверов и других рекреационных зон.

Например, клумбы, цветники, фонтаны и бассейны часто выкладываются в форме правильных геометрических фигур - треугольников, шестиугольников. Это создает ощущение гармонии и завершенности композиции.