Найти
×

Действия с логарифмами: изучаем вместе

0
0

Логарифмы являются одной из самых полезных, но в то же время сложных для понимания тем в школьной программе по математике. Давайте разберемся, что же представляют собой логарифмы, какие существуют их виды и свойства, как выполнять с ними основные действия. В этой статье вы найдете ответы на все вопросы о логарифмах, а также полезные советы, как быстрее освоить эту тему.

Логарифмы и калькулятор

Что такое логарифм и зачем он нужен

Итак, начнем с самого начала. Логарифм - это величина, показывающая, в какую степень нужно возвести заданное число (основание), чтобы получить другое данное число. Обозначается логарифм так: logab = c. Это значит, что если основание a возвести в степень c, то получится число b: ac = b.

На первый взгляд это определение кажется довольно абстрактным. Но на самом деле логарифмы необходимы для решения многих практических задач. Вот лишь некоторые примеры, где применяются логарифмы:

  • Расчеты в химии, физике, радиотехнике
  • Обработка данных и статистика
  • Задачи оптимизации и моделирования
  • Финансовые расчеты
  • Теория информации и криптография

Как видите, областей применения действительно много. А все потому, что логарифмы позволяют значительно упростить сложные вычисления и преобразования.

Различают несколько видов логарифмов:

  1. Натуральный логарифм - логарифм с основанием e = 2,718...
  2. Десятичный логарифм - логарифм с основанием 10
  3. Логарифм с произвольным основанием - можно взять любое положительное число, отличное от 1

Позже мы еще вернемся к особенностям разных логарифмов. А сейчас перейдем к основным формулам и правилам работы с ними.

Основные правила и формулы для логарифмов

Логарифмы обладают уникальными свойствами, позволяющими значительно упрощать сложные математические выражения и вычисления. Для начала давайте запомним несколько основных правил и формул:

Основное логарифмическое тождество:

logaab = b

Логарифм произведения:

loga(xy) = logax + logay

Логарифм частного:

loga(x/y) = logax − logay

Логарифм степени:

logaxn = n·logax

Как видите, логарифмы позволяют заменить сложные операции умножения и деления на более простые сложение и вычитание. Это одно из главных их преимуществ.

Чтобы быстрее запомнить основные формулы, можете завести отдельную тетрадь или файл и выписать туда эти правила. Также полезно будет самостоятельно подставить числа и убедиться, что равенства выполняются.

Теперь, когда мы знаем основные свойства логарифмов, можно приступать к выполнению действий и решению задач с их использованием.

Основные действия с логарифмами на примерах

Итак, давайте последовательно разберем, как выполнять такие операции с логарифмами, как сложение, вычитание, умножение и деление. Рассмотрим пошаговые примеры с подробными объяснениями.

Решает задачи с логарифмами

Сложение и вычитание логарифмов

Начнем с простого примера на сложение логарифмов:

Найти: log218 + log232

Решение:

  1. Приводим логарифмируемые выражения к виду степени: 18 = 24, 32 = 25
  2. Используем свойство логарифма степени:
      log
    2
      18 = log
    2
      2
    4
      = 4·log
    2
      2 log
    2
      32 = log
    2
      2
    5
      = 5·log
    2
      2
  3. Логарифм основания равен 1, подставляем:
      log
    2
      18 = 4 log
    2
      32 = 5
  4. Складываем полученные логарифмы: 4 + 5 = 9

Ответ: 9

А теперь пример на вычитание:

Найти: log5125 − log525

Решение аналогично:

  1. 125 = 53, 25 = 52
  2. log5125 = 3·log55 = 3
  3. log525 = 2·log55 = 2
  4. 3 − 2 = 1

Ответ: 1

Как видите, используя свойства логарифмов, сложение и вычитание сводятся к сложению и вычитанию чисел, что значительно проще.

Теперь давайте перейдем к следующим действиям с логарифмами: умножению и делению.

Умножение и деление логарифмов

Рассмотрим пример на умножение логарифмов:

Найти: (log327)·(log39)

Решение:

  1. Преобразуем логарифмируемые выражения:
      27 = 3
    3
      9 = 3
    2
  2. Применяем свойство логарифма степени:
      log
    3
      27 = 3·log
    3
      3 = 3 log
    3
      9 = 2·log
    3
      3 = 2
  3. Перемножаем полученные логарифмы: 3·2 = 6

Ответ: 6

Как видно, умножение логарифмов эквивалентно умножению чисел - значений этих логарифмов.

А теперь пример на деление логарифмов:

Найти:

Решение аналогично:

    1. 64 = 2
    6
      8 = 2
    3
    2. log
    2
      64 = 6 log
    2
      8 = 3
  3. Делим полученные логарифмы: 6/3 = 2

Ответ: 2

Логарифмирование сложных выражений

Рассмотрим более сложный пример, включающий последовательное применение нескольких свойств логарифмов:

Найти:

Решение:

  1. Разбиваем выражение в числителе на множители:
      216 = 6
    3
      125 = 5
    3
  2. Применяем свойство логарифма произведения:
      log
    5
      216 = log
    5
      6
    3
      + log
    5
      5
    3
  3. Используем свойство логарифма степени:
      log
    5
      216 = 3·log
    5
      6 + 3·log
    5
      5
  4. Логарифм основания равен 1:
      log
    5
      216 = 3 + 3 = 6
  5. В знаменателе:
      log
    5
      25 = log
    5
      5
    2
      = 2
  6. Делим логарифмы: 6/2 = 3

Ответ: 3

Как видим, последовательное применение свойств логарифмов позволяет значительно упростить сложные выражения и найти решение.

Решение логарифмических уравнений

Рассмотрим теперь, как с помощью логарифмов можно решать уравнения. Например:

Решить уравнение: log4x + log4(x + 3) = 5

Решение:

  1. Применяем свойство логарифма суммы:
      log
    4
      x + log
    4
      (x + 3) = log
    4
      (x(x + 3))
  2. Приравниваем к 5:
      log
    4
      (x(x + 3)) = 5
  3. Возводим в степень 4 по основному логарифмическому тождеству:
      x(x + 3) = 4
    5
      = 1024
  4. Решаем полученное уравнение относительно x:
      x
    2
      + 3x - 1024 = 0 x
    1
      = 16 x
    2
      = -64
  5. Отбрасываем отрицательный корень и окончательный ответ: x = 16

Применение логарифмов в реальных задачах

Хотя логарифмы могут показаться абстрактным математическим понятием, их применяют и для решения практических задач. Рассмотрим пример:

Бактерии размножаются по экспоненте. Если изначально в пробирке было 120 бактерий, а через 5 часов их стало 76800, то каков период удвоения популяции бактерий?

Решение:

  1. Записываем условие в виде равенства:
      120 · 2
    t/T
      = 76800 где T - период удвоения
  2. Берем логарифм обеих частей по основанию 2:
      log
    2
      120 + t/T = log
    2
      76800 t/T = log
    2
      76800 - log
    2
      120
  3. Вычисляем логарифмы и находим T:
      T = t/(16 - 7) = 5 часов

Ответ: период удвоения популяции составляет 5 часов.

Теперь вы знаете, что логарифм - это величина, показывающая, в какую степень нужно возвести заданное число (основание), чтобы получить другое данное число. Обозначается логарифм так: logab = c. Это значит, что если основание a возвести в степень c, то получится число b: ac = b.

На первый взгляд это определение кажется довольно абстрактным. Но на самом деле логарифмы необходимы для решения многих практических задач. Чтобы быстрее запомнить основные формулы, можете завести отдельную тетрадь или файл и выписать туда эти правила. Также полезно будет самостоятельно подставить числа и убедиться, что равенства выполняются.


Похожие статьи