Как выделить квадрат двучлена из квадрата трехчлена: пошаговое решение

Умение быстро и правильно выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена - это важный и полезный навык, который пригодится вам в школе и институте. С его помощью можно решать множество задач: от рисования графиков функций до нахождения корней уравнений.

Пошаговый алгоритм выделения квадрата двучлена

Давайте разберем пошаговый алгоритм выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена вида ax^2 + bx + c. Вот основные шаги:

1. Выносим коэффициент a за скобки, если он не равен 1. Получаем выражение a(x^2 + (b/a)x + (c/a)).
2. Преобразуем слагаемое bx в двойное произведение 2(b/2a)x.
3. Прибавляем и вычитаем квадрат (b/2a) для получения полного квадрата.
4. Группируем первые три слагаемых в квадрат суммы или разности.
5. Упрощаем выражение, раскрываем скобки.

Давайте рассмотрим применение этого алгоритма на конкретном примере.

Пример выделения квадрата двучлена

Выделим полный квадрат двучлена в выражении 3x^2 - 6x - 5:

1. Коэффициент при x^2 равен 3, значит выносим его за скобки: 3(x^2 - 2x - (5/3))
2. Преобразуем -2x в -2·1·x
3. Прибавляем и вычитаем 1 в квадрате: 3(x^2 - 2·1·x + 1 - 1 - (5/3))
4. Группируем: 3((x - 1)^2 - 1 - (5/3))
5. Раскрываем скобки: 3(x - 1)^2 - 3

Как видите, мы получили разность двух квадратов, что часто бывает удобнее для дальнейших преобразований и решения уравнений.

Где применяется данный метод

Выделение полного квадрата двучлена пригодится вам в следующих случаях:

• При решении квадратных уравнений и неравенств;
• При нахождении корней квадратного трехчлена;
• При построении графика функции (нахождение координат вершины параболы);
• В интегральном исчислении;
• При изучении конических сечений в аналитической геометрии и т.д.

Рассмотрим некоторые из этих применений подробнее.

Решение квадратных уравнений

Посмотрим, как удобно применить данный метод при решении квадратных уравнений. Решим уравнение:

x² - 6x + 8 = 0

Выделяем полный квадрат:

(x - 3)² = 9
x - 3 = ±3 x = 3 ± 3

Ответ: 6; 0.

Как видите, метод позволяет быстро найти корни уравнения.

Построение графиков функций

С помощью выделения полного квадрата можно легко определять координаты вершины параболы и строить ее график. Рассмотрим функцию:

y = -2x² + 4x + 3

Выделяем квадрат двучлена:

y = -2(x - 1)² + 7

Значит, вершина параболы находится в точке (1; 7). Строим график:

Как видите, знание этого метода сильно упрощает рисование парабол.

Ответы на типичные вопросы

Давайте разберем несколько типичных вопросов, которые возникают при выделении квадрата двучлена:

Что делать, если коэффициент a отрицательный?

Ничего особенного. Просто выносим отрицательное число за скобки. Например:

-2(x² - 4x + 4) = -2(x - 2)²

Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена если в trехчлене нет слагаемого bx?

Тогда в роли коэффициента b возьмем ноль. Например:

x² + 5 = (x + 0)² - 1

В общем, алгоритм остается тем же!

Куда приравнивать двучлен?

При решении уравнений приравниваем его к нулю. А вот при построении графиков функций оставляем выделенный квадрат "как есть" в исходном выражении. Так что здесь все зависит от конкретной задачи.

Если у вас возникли еще вопросы по этой теме - можете задать их в комментариях. Постараюсь ответить на них подробно!

Другие применения метода

Кроме уже рассмотренных случаев, выделение полного квадрата двучлена применяется еще во многих областях математики. Давайте кратко перечислим некоторые из них.

В аналитической геометрии

С помощью данного метода удобно классифицировать кривые второго порядка, заданные уравнениями. Например:

9x² + 12x + 4 = 0

Выделяя здесь полный квадрат, получим уравнение окружности. Значит, задана окружность.

При интегрировании функций

"выделить квадрат двучлена квадрата трехчлена" часто помогает взять интеграл от функции, содержащей квадратный трехчлен:

∫(2x² - 4x + 1)dx

"выделить" здесь квадрат двучлена, получим разность квадратов, интеграл от которой берется просто.

В теории вероятностей

Метод используется, например, при выводе формулы распределения Пуассона из биномиального распределения. Путем "выделить" соответствующих квадратов.

При решении оптимизационных задач

Выделить квадрат двучлена из квадрата трехчлена - правило, которое помогает найти экстремумы (минимумы или максимумы) квадратичной функции - они достигаются в вершине параболы.

Полезные рекомендации

В завершение давайте еще раз перечислим полезные советы при использовании данного метода:

• Выделить полный квадрат всегда удобно, когда в задаче фигурирует квадратный трехчлен;
• Сначала приводите трехчлен к виду с единичным коэффициентом при x²;
• Группируйте первые три слагаемых обязательно в скобки - так нагляднее;
• Учитывайте знаки при выделении квадрата суммы или разности.

Следуя этим правилам и алгоритму, вы без труда научитесь выделить квадрат двучлена из квадрата трехчлена в любых ситуациях! Успехов вам!