Что такое "степень числа" и как ее вычислить: основные правила и примеры

Степень числа - одна из важнейших математических операций. Знание правил вычисления степеней позволяет быстро считать в уме, экономя время. Давайте разберемся, что такое степень числа, как ее вычислять, и приведем полезные примеры.

Определение степени числа

Что такое степень числа? Это запись вида:

an

где a - основание степени, а n - показатель степени. Основание - это число, которое многократно умножается на себя. Показатель - это количество умножений основания на себя.

Например, 53 означает, что число 5 нужно умножить на себя 3 раза: 5 × 5 × 5 = 125. Здесь 5 - основание степени, 3 - показатель степени.

Случаи показателя степени, равного 0 и 1

Если показатель степени равен 0, то степень будет равна 1: a0 = 1.

Если показатель степени равен 1, то степень равна самому основанию: a1 = a.

Особенности степени с отрицательным основанием

Если основание степени отрицательное, то результат зависит от четности показателя степени:

• При четном показателе степени результат положителен.
• При нечетном показателе степени результат отрицателен.

Например:

• (-3)2 = 9 (четный показатель, положительный результат)
• (-3)3 = -27 (нечетный показатель, отрицательный результат)

Свойства степеней

При работе со степенями очень полезны три основных свойства:

1. Степень степени: (an)m = an·m
2. Степень произведения: (a·b)n = an·bn
3. Степень частного: (a/b)n = an/bn

Рассмотрим применение этих свойств на практике.

Применение свойства "Степень степени"

Например, чтобы найти значение (32)3, применяем это свойство:

1. 32 = 9 (возводим 3 в квадрат)
2. (9)3 = 93 = 729 (возводим 9 в 3-ю степень)

То есть, (32)3 = 729.

Применение свойства "Степень произведения"

Это свойство позволяет упростить вычисление степени произведения двух чисел. Например:

(2 · 3)3 = 23 · 33 = 8 · 27 = 216

Вместо того, чтобы перемножать 2 и 3, а затем возводить результат в 3-ю степень, мы сразу возвели каждый множитель в отдельности, а потом перемножили результаты.

Применение свойства "Степень частного"

Это свойство позволяет вынести знаменатель из-под знака степени. К примеру:

(12/3)2 = 122/32 = 144/9 = 16

Здесь мы избежали необходимости сначала найти частное 12/3, а уже потом возводить его в квадрат.

Как вычислить степень числа на практике

Что такое степень числа? Это важнейшая операция, позволяющая компактно обозначать многократное умножение числа на себя.

Как вычислить степень числа на практике? Рассмотрим пошаговый алгоритм.

1. Определите основание и показатель степени в записи an.
2. Проверьте особые случаи показателя степени 0 и 1.
3. При отрицательном основании определите четность показателя степени.
4. Используйте свойства степеней для упрощения вычислений.
5. Выполните необходимые умножения и подсчитайте результат.

Полезные рекомендации

• При вычислении степени в уме округляйте промежуточные результаты.
• Запоминайте значения часто используемых степеней (квадраты, кубы чисел от 1 до 10).
• Для больших значений показателя степени используйте калькулятор.

Применение степеней на практике

Степени натуральных чисел широко используются в различных областях:

• В физике при расчете площадей, объемов, масс, сил.
• В химии при вычислении количеств вещества.
• Вычислительной технике для экономии ресурсов.

Полезные степени: квадрат и куб числа

Часто применяются степень числа 10 и степени 2 и 3 - квадрат и куб числа. Например:

• Квадратного метра жилья.
• Кубические метры груза.
• 1024 байта = 2¹⁰ байт.

История степени

Термин "степень числа" появился в математике не сразу. Исторически сначала использовалась запись в виде многократного произведения одинаковых множителей.

Современную запись степени с показателем над основанием ввел французский математик и философ Рене Декарт в 1637 году. Однако изначально она применялась только для натуральных показателей степени больше 2.

Позднее английские математики Джон Валлис и Исаак Ньютон распространили запись Декарта на отрицательные и дробные показатели степени. К началу 18 века эта запись полностью вытеснила альтернативные варианты.

Первые упоминания степени в Древнем мире

Первые примеры применения степеней встречаются еще в математических папирусах Древнего Египта 1650 года до н.э. Однако запись степеней тогда еще отсутствовала.

Вычисление степени с помощью техники

С появлением компьютеров и программирования возникла проблема записи степеней.

В языке Фортран для обозначения степени стали использовать две звездочки: **. В Алголе появились стрелки Кнута: ↑. А наиболее популярный символ ^ впервые применили в языке Бейсик.

Вычисление степеней с помощью калькуляторов и компьютеров

Современные калькуляторы и компьютерные программы позволяют мгновенно вычислять степени, избавляя от необходимости ручных подсчетов.

Однако владение основами вычисления степеней все равно необходимо для гибкости мышления и проверки результатов компьютерных вычислений.

Тест на знание темы "Степень числа"

Вопрос 1

Чему равно выражение (-2)4?

1. 16
2. -16
3. 2
4. -2

Правильный ответ: 1. При возведении отрицательного числа в четную степень получается положительное число.

Вопрос 2

Чему равно выражение (32)3?

1. 3⁶
2. 6³
3. 3³²
4. 729

Правильный ответ: 4. Применяем свойство "степень степени" и получаем 729.

Вопрос 3

Как упростить выражение (3 * 5)4?

1. (3 * 5)4
2. 154
3. 34 * 54
4. 3125

Правильный ответ: 3. Применяем свойство "степень произведения".