Простой способ: как раскладывать числа на простые множители

Автор Регина Федотова December 19, 2023

Разложение чисел на простые множители - это важный навык, который пригодится как школьникам, так и взрослым в повседневной жизни. Знание того, как раскладывать числа на множители, помогает быстро считать в уме, находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел. В этой статье мы рассмотрим простые и понятные способы как раскладывать на простые множители числа любой сложности.

Пошаговый алгоритм разложения числа на множители

Чтобы разложить число на простые множители, нужно выполнить следующие шаги:

Разложите число на простые делители (то есть те, которые делят его без остатка). Например, число 12 можно разложить на делители 2, 3, 4, 6.
Из полученных делителей оставьте только простые (которые не делятся больше ни на что, кроме 1 и самих себя). Для числа 12 это 2, 3.
Проверьте, действительно ли произведение оставшихся простых делителей равно исходному числу (2 x 3 = 6).

Если да - число успешно разложено на множители. Для примера выше конечный ответ: 12 = 2 x 3.

Учительница объясняет разложение чисел на множители на школьной доске

Разложение двузначных и трехзначных чисел

Рассмотрим более подробно как разложить на простые множители двузначные и трехзначные числа. Здесь все просто - нужно последовательно проверить в числе наличие таких множителей как 2, 3, 5, 7, 11. Эти простые числа чаще всего встречаются при разложении.

Начните с числа 2 - если исходное число делится на 2 без остатка, запишите 2 как множитель.
Затем проверьте делимость на 3, 5, 7. Если число делится - записываете найденный множитель.
Продолжайте до тех пор, пока в числе не останется неделимое число. Это и есть последний множитель.

Например, разложим число 84:

84 делится на 2 -> записываем 2
Число 42 (84/2) не делится на 2, но делится на 3 -> записываем 3
Число 14 (42/3) не делится на 2, 3, 5 или 7. То есть 14 - последний простой множитель.

Как найти простые множители составных чисел

Если попадается составное число (то есть такое, которое больше 1 и имеет делители, кроме 1 и самого себя), его тоже можно разложить на простые множители. Просто нужно последовательно делить это число на все возможные простые делители.

Возьмем для примера число 72:

72 делится на 2 -> записываем 2
72/2=36 делится еще на 2 -> снова записываем 2
36/2=18 делится на 3 -> записываем 3
На этом делимость заканчивается, значит получаем: 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Как видно из примера, одинаковые множители можно объединить. Итоговый ответ будет 72 = 2³ x 3²

То есть число 72 разлагается на 3 степени числа 2 и 2 степени числа 3. Это и есть простые множители составного числа 72.

Подросток делает домашнее задание по разложению чисел на множители

Как раскладывать на множители большие числа

С очень большими числами, например шестизначными или десятизначными, раскладывать на множители "вручную" будет неудобно и долго.

Здесь на помощь приходят специальные методы и алгоритмы:

Алгоритм решета Эратосфена
Метод Ферма
Использование калькулятора или компьютерных программ

Рассмотрим их более подробно.

Алгоритм решета Эратосфена

Это метод последовательного исключения непростых чисел. Суть алгоритма:

Запишите все числа от 2 до N (число которое нужно разложить)
Последовательно исключайте кратные, начиная с 4 (кратные 2), 9 (кратные 3) и так далее
В конце останутся только простые числа - они и являются множителями заданного числа N

Например, разлагаем число 1000:

1000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 = 2³ x 5³

Метод Ферма

Это изящный алгоритм для нахождения простого множителя числа. Он основан на свойствах сравнений по модулю. Работает так:

Берем произвольное число A в интервале от 2 до N-1
Возводим его в степень от 2 до N-1 по модулю N
Если результат = 1 - число A является множителем числа N

Для примера разложим 15751 на множители:

A = 4:	4² mod 15751 = 1
Значит, 4 - множитель числа 15751.	15751 / 4 = 3937
Продолжаем алгоритм для 3937:	7² mod 3937 = 1
7 тоже множитель, 3937 / 7 = 563	Повторяем для 563 - множителей нет