Функция lg и натуральный логарифм: связь и использование

Логарифмы - одна из самых загадочных тем школьного курса математики. Многие до сих пор вспоминают с ужасом решение логарифмических уравнений и задач. Но на самом деле понять логарифмы совсем несложно.

1. Что такое логарифм и его основные свойства

Давайте начнем с определения. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Иначе говоря, логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести одно число, чтобы получилось другое.

Например, lg 3 = 0,5 означает, что 10^0,5 = 3. То есть, если возвести 10 в степень 0,5 (то есть извлечь квадратный корень), получится 3.

Основные термины:

• Число a называется основанием логарифма
• Число b называется логарифмируемым числом
• Показатель степени обозначается через x и называется логарифмом числа b по основанию a

Среди всех видов логарифмов выделяют:

• Десятичный логарифм, в котором основание равно 10 (обозначается lg)
• Натуральный логарифм, в котором основание равно числу э (примерно 2,71828, обозначается ln)

2. Различия между lg и ln

Функции lg и ln имеют много общего. Обе функции:

• Являются монотонно возрастающими на всей числовой прямой
• Непрерывны во всех точках своего определения
• Дифференцируемы во всех точках своего определения

Однако есть и принципиальные отличия:

1. У них разные основания:
   Для lg основание равно 10 Для ln основание равно э (число э)
2. Вычисление ln сложнее и требует использования калькулятора или таблиц значений
3. Между функциями lg и ln существует связь:

   ln x = lg x / lg e

Например, вычислим значения lg и ln для числа 10:

• lg 10 = 1 (10¹ = 10)
• ln 10 ≈ 2,3 (э^2,3 ≈ 10)

3. Применение логарифмов на практике

Зная основные свойства lg и ln, можно значительно упростить многие инженерные и экономические расчеты. Рассмотрим несколько примеров.

Логарифмические шкалы используются для измерения громкости звука (в децибелах), кислотности растворов (pH) и многих других величин. Логарифм позволяет адекватно отображать огромные различия в числовых значениях.

В природе можно наблюдать логарифмическую спираль - фрактальную кривую, описываемую уравнением:

r = a * eb*θ

Такая спираль встречается в ракушках, рогах баранов, семенах подсолнечника и других объектах.

А вот пример того, как логарифмы могут упростить вычисления. Нужно найти значение выражения 5⁷ * 3¹⁰ * 2^-3. С помощью логарифмов:

1. Переводим выражение в логарифмы:
   lg(5
   ⁷
   ) = 7 * lg 5 lg(3
   ¹⁰
   ) = 10 * lg 3 lg(2
   ^-3
   ) = -3 * lg 2
2. Используем свойство логарифма произведения:
   lg(5
   ⁷
   * 3
   ¹⁰
   * 2
   ^-3
   ) = 7 * lg 5 + 10 * lg 3 - 3 * lg 2
3. Подставляем значения логарифмов и получаем ответ

4. Другие области применения логарифмов

Помимо упрощения вычислений, логарифмы активно используются во многих областях науки и техники.

Логарифмические диаграммы

Логарифмическая шкала позволяет наглядно отображать данные с очень большим диапазоном значений. Например, доходы населения разных стран мира различаются на несколько порядков - от сотен до сотен тысяч долларов в год.

На обычной линейной диаграмме бедные страны будут едва заметны на фоне богатых. А в логарифмическом масштабе можно увидеть и тех, и других.

Рост численности популяций

Если популяция животных или микроорганизмов размножается быстро и бесконтрольно, ее рост подчиняется экспоненциальному закону. То есть каждый новый организм тоже начинает размножаться по экспоненте.

Математически такой рост описывается логарифмической кривой. А на практике может привести к взрывному размножению бактерий или мышей.

Проектирование ракетных двигателей

В ракетостроении для вычисления скорости ракеты используется уравнение Циолковского. Это уравнение связывает начальную массу ракеты, конечную массу (без топлива) и скорость выброса газов.

Одним из ключевых параметров в этом уравнении является натуральный логарифм отношения начальной и конечной массы ракеты. Изменяя это отношение (то есть количество топлива), ракетные инженеры могут рассчитать, какую максимальную скорость сможет развить их двигатель.

5. Интересные факты о логарифмах

• Слово "логарифм" в переводе с греческого означает "отношение чисел"
• Понятие логарифма ввел шотландский математик Джон Непер в 1614 году
• В древности сложные вычисления с большими числами проводили с помощью логарифмических линеек
• Самая большая известная простая числа - 232582657, была найдена с помощью распределенных логарифмических вычислений

Как видно, несмотря на кажущуюся абстрактность, логарифмы - очень полезный и универсальный математический инструмент с массой практических приложений!