Что такое НОК: наименьшее общее кратное чисел?

НОК - одно из основных понятий в математике. Давайте разберемся, что оно означает и для чего нужно в школьной и практической жизни.

Определение НОК

НОК или наименьшее общее кратное - это наименьшее число, на которое одновременно без остатка делятся два или более других чисел. Рассмотрим это на примерах.

НОК чисел 6 и 8 равно 24. Это наименьшее число, которое делится нацело и на 6, и на 8 без остатка.

Давайте проверим:

• 24 : 6 = 4 (делится нацело)
• 24 : 8 = 3 (делится нацело)

Аналогично НОК чисел 15 и 20 равно 60, так как это наименьшее число, кратное и 15, и 20:

Зачем нужно искать НОК чисел?

Знать НОК двух или нескольких чисел необходимо для решения многих задач арифметики. Вот основные случаи использования:

1. Нахождение общего знаменателя нескольких дробей при их сложении или вычитании. НОК знаменателей дробей становится искомым общим знаменателем.
2. Решение текстовых задач, связанных с периодичностью или цикличностью процессов. НОК периодов позволяет найти их общую кратность.
3. Оптимизация производственных и иных процессов, в которых участвуют объекты с разной цикличностью.

Короче говоря, НОК пригодится везде, где нужно найти общую периодичность или такт для нескольких чисел. А теперь давайте разберемся, как его находить на практике.

Способы вычисления НОК

Существует несколько основных способов нахождения наименьшего общего кратного для заданных чисел. Рассмотрим самые распространенные из них.

Перебор кратных

Этот способ заключается в последовательном переборе кратных каждого из заданных чисел и выборе первого общего (т.е. входящего в оба ряда кратных) наименьшего.

Например, найдем НОК чисел 12 и 15 перебором их кратных:

Кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72...

Кратные 15: 15, 30, 45, 60...

Общим кратным является число 60. Это первое наименьшее число, которое одновременно кратно и 12, и 15. Следовательно, НОК(12, 15) = 60.

Хотя данный способ прост для понимания, на практике он трудоемок из-за необходимости перебирать большое количество кратных. Поэтому чаще используют другие способы.

Через разложение на множители

Более удобный способ - с помощью разложения чисел на простые множители. Схема действий такова:

1. Разложить каждое число на простые множители
2. Объединить полученные множители с учетом их количества в каждом разложении
3. Перемножить все множители и получить НОК

Например, найдем НОК чисел 12 и 20 по этому методу.

Разложим на множители:

• 12 = 2 x 2 x 3
• 20 = 2 x 2 x 5

Объединяем множители с учетом их количества в каждом разложении:

2 x 2 x 2 x 3 x 5

Перемножаем: НОК(12, 20) = 120

Данный способ более эффективен, чем перебор кратных, и позволяет быстро находить НОК больших чисел.

Формула для вычисления НОК двух чисел

Если уже известен наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, то для нахождения их НОК можно воспользоваться следующей формулой:

НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b)

Где a и b - исходные числа.

Так, если НОД(16, 24) = 8, то:

НОК(16, 24) = (16 * 24) / 8 = 384 / 8 = 48

Этот способ экономит время, если НОД уже найден ранее. Но в противном случае придется сначала находить НОД, а потом подставлять его в формулу.

Рекомендации по выбору способа

Итак, мы рассмотрели основные способы нахождения наименьшего общего кратного для двух и более чисел. Какой же из них выбрать на практике?

• При небольших числах можно воспользоваться перебором кратных
• Для больших чисел лучше применять разложение на множители
• Если известен НОД двух чисел, удобно использовать формулу через произведение и НОД

Со временем вырабатывается интуиция по выбору оптимального способа в каждом конкретном случае. Главное - понимать их суть и последовательно практиковаться в применении.

Применение НОК на практике

Теперь разберем конкретные кейсы использования наименьшего общего кратного в реальных задачах из разных сфер.

НОК в задачах на движение

Классический пример - задачи на встречу двух объектов, движущихся навстречу друг другу с разной скоростью. НОК периодов их движения как раз и покажет, через какое время произойдет встреча.

Например, пешеход идет со скоростью 5 км/ч, а велосипедист едет ему навстречу со скоростью 15 км/ч. Найти время и место их встречи, если расстояние между ними было 30 км.

Решение:

1. Находим НОК периодов (расстояний) для каждого участника: НОК(5, 15) = 15.
2. Значит, через каждые 15 км они встречаются в одной точке.
3. Ответ: через 6 часов на расстоянии 15 км от начального места пешехода.

Здесь НОК позволил определить общую периодичность встреч.

Что такое НОК в оптимизации графиков

"Что такое НОК" пригодится также при составлении оптимального общего графика для нескольких периодических мероприятий или процессов.