Вершина многоугольника - это что такое в геометрии

Вершина многоугольника - одно из основополагающих понятий геометрии. Без знания определения вершины и ее свойств невозможно решать многие задачи и строить доказательства для многоугольников. Давайте разберемся, что это такое!

Определение вершины многоугольника

Вершина многоугольника - это точка пересечения двух соседних сторон многоугольника. Также вершиной называют угловую точку многоугольника. Иначе говоря, вершина - это место, где сходятся стороны, образуя угол многоугольника.

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке.

Таким образом, вершина многоугольника является его нулевомерной гранью, точкой, в которой сталкиваются его размерности.

Свойства вершин многоугольника

У вершин многоугольника есть несколько важных свойств:

• Вершина может быть выпуклой или вогнутой в зависимости от величины внутреннего угла
• Вершины связаны с вершинами графа многоугольника
• Через вершины проходят диагонали многоугольника
• Вершины являются точками экстремальной кривизны при аппроксимации многоугольника гладкой кривой

Рассмотрим некоторые из этих свойств подробнее.

Выпуклые и вогнутые вершины

Вершина многоугольника называется выпуклой, если внутренний угол многоугольника при этой вершине меньше 180 градусов.

Если же внутренний угол больше 180 градусов, то такая вершина будет вогнутой.

На рисунке показан пример выпуклого и вогнутого многоугольников с соответствующими типами вершин:

Как видно на рисунке, у выпуклого многоугольника все внутренние углы острые, меньше 180 градусов, значит все его вершины - выпуклые.

А вот у вогнутого многоугольника в точке C образовался тупой угол, больше 180 градусов. Поэтому вершина C является вогнутой вершиной.

Многоугольники, виды многоугольников

Кроме выпуклых и вогнутых, выделяют несколько других основных видов многоугольников:

1. По числу сторон: треугольники, четырехугольники и т.д.
2. По свойствам сторон и углов: равносторонние, равноугольные, правильные
3. По взаимному расположению сторон: пересекающиеся, вписанные, описанные

Рассмотрим некоторые интересные виды подробнее.

Правильные многоугольники

Правильным называется многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Пример - квадрат, правильные треугольник, пятиугольник и т.д.

У правильных многоугольников есть ряд полезных свойств, связанных с их вершинами:

• Центр правильного многоугольника равноудален от всех его вершин
• В правильный многоугольник можно вписать окружность, касающуюся всех его вершин
• Через вершину правильного многоугольника можно провести ось симметрии

Эти и другие свойства правильных многоугольников широко используются при решении задач.

Применение вершин в компьютерной графике

Понятие вершины многоугольника находит применение не только в теоретической геометрии, но и в прикладных областях.

Например, в компьютерной графике объекты часто моделируют с помощью треугольных сеток, состоящих из треугольников. Вершины этих треугольников несут важную информацию, необходимую для визуализации объекта - координаты, цвет, текстуру и т.д.

Эти данные о вершинах затем обрабатываются специальными программами ( вершинными шейдерами ), которые на их основе строят реалистичное изображение объекта.

Таким образом, даже в компьютерных играх и анимации понятие вершины многоугольника играет важную роль!

Диагонали многоугольника

Диагонали многоугольника тоже связаны с его вершинами. Диагональ - это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Диагонали можно проводить из одной вершины во все остальные. Тогда многоугольник разбивается на треугольники:

Количество таких треугольников всегда на 2 меньше сколько вершин у многоугольника. Это свойство используется, к примеру, при вычислении площади многоугольника - его можно разбить на треугольники, найти площади каждого и сложить.

Формула Эйлера

Для выпуклых многогранников существует полезная формула Эйлера, связывающая сколько у многогранника вершин, ребер и граней:

V - E + F = 2

Здесь V - число вершин, E - число ребер, F - число граней. Эта формула позволяет, зная сколько в многограннике вершин и граней, определить сколько в нем ребер и наоборот.

Неравенство для треугольника

Для треугольника, частного случая многоугольника, тоже есть интересная формула, связанная с его вершинами:

a + b > c

Здесь a, b, c - длины сторон треугольника. Это неравенство показывает, что сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны. Иными словами, треугольник не может иметь сторону больше суммы двух других сторон.

Это неравенство для треугольника широко используется для проверки возможности построения треугольника по заданным сторонам и в других задачах на треугольники.

Задачи на вычисление свойств многоугольника

Давайте рассмотрим несколько примеров задач, где требуется вычислить различные свойства многоугольника, опирающиеся на его вершины.

Например, найти сумму внутренних углов многоугольника, используя формулу:

Зная число сторон (а значит и вершин) многоугольника, по этой формуле легко найти сумму его углов.

Или другой классический пример - вычислить периметр многоугольника, то есть сумму длин всех его сторон. А поскольку стороны связывают соседние вершины многоугольника, решая такую задачу мы также опираемся на понимание того, сколько вершин у многоугольника и как эти вершины соединены сторонами.