Что такое координатная прямая: ось чисел для определения положения точек

Координатная прямая - это важный математический инструмент, позволяющий устанавливать взаимно-однозначное соответствие между точками на плоскости и числами. Благодаря координатной прямой, положение любой точки можно точно определить с помощью числа - ее координаты. Давайте подробно разберем, как это работает.

Основные понятия

Координатная прямая строится следующим образом:

• Берется обычная прямая
• На ней выбирается произвольная точка О, которая называется началом координат
• От точки O в обоих направлениях откладывается единичный отрезок, задающий масштаб
• Справа от точки O наносятся такие же отрезки, образующие положительное направление
• Слева наносятся отрезки в отрицательном направлении

Таким образом, координатная прямая состоит из начала координат, единичного отрезка, положительного и отрицательного направлений. Пример координатной прямой показан на рисунке:

• Основное свойство координатной прямой заключается в том, что каждой ее точке ставится в соответствие число - координата этой точки. Это позволяет точно определить положение любой точки на плоскости. Рассмотрим несколько примеров такого соответствия для конкретных точек на рисунке:
• Точка A имеет координату 3, так как отстоит от начала координат на 3 единичных отрезка в положительном направлении
• Точка B имеет координату -4, поскольку находится левее начала координат на расстоянии 4 единичных отрезков
• Координата точки O равна 0, так как эта точка совпадает с началом координат

Благодаря такому соответствию, координатную прямую часто называют "числовой осью", поскольку каждой точке на ней соответствует определенное число.

Координаты точек

Давайте теперь более подробно разберем, как определяются координаты конкретных точек на координатной прямой.

Правило простое:

1. Если точка совпадает с началом координат О, то ее координата равна нулю: x(O) = 0
2. Если точка находится справа от начала координат, то ее координата - это число единичных отрезков, на которое нужно отложить от точки O в положительном направлении, чтобы попасть в данную точку
3. Если точка расположена слева от начала координат, то ее координата равна числу единичных отрезков, на которое нужно отложить от точки O в отрицательном направлении

Так, например, для точки С на рисунке ее координата x(C) = 5, поскольку эта точка находится справа от начала координат на расстоянии 5 единичных отрезков.

А для точки D, расположенной левее точки O, координата будет отрицательной: x(D) = -2.

Дробные координаты

Помимо целых чисел, координатами точек на прямой могут быть также дробные и отрицательные числа. Дробные координаты соответствуют точкам, которые располагаются между делениями координатной прямой.

Например, точке E на рисунке соответствует координата 2,5, поскольку эта точка находится на половине расстояния между 2-м и 3-м единичными отрезками справа от начала координат.

Что такое координатная прямая в этом случае? Это по-прежнему прямая с выбранной начальной точкой отсчета и заданным масштабом. Просто для большей точности мы можем указывать положение точек не только в единичных отрезках, но и в их долях: половине, четверти, десятых и так далее.

Иррациональные числа на координатной прямой

Помимо рациональных чисел в виде целых и дробей, на координатной прямой также можно отметить точки, соответствующие иррациональным числам. Однако точное положение таких точек указать невозможно.

Например, число π = 3,14159... является бесконечной дробью. Поэтому точку с координатой π на координатной прямой можно указать лишь приближенно.

Тем не менее, понятие, что такое координатная прямая, остается прежним - это числовая ось, на которой любой точке соответствует некоторое число, в данном случае - иррациональное.

Абсолютная величина числа

Рассмотрим еще одно важное понятие, связанное с координатной прямой, - что такое абсолютная величина числа.

Для любой точки на координатной прямой, независимо от знака ее координаты, можно вычислить расстояние до начала координат. Это расстояние называется абсолютной величиной числа.

Например, для точки С с координатой 5 это расстояние равно |5| = 5. А для точки D с координатой -2 абсолютная величина будет |-2| = 2.

Таким образом, что представляет собой абсолютная величина - это по сути модуль числа, показывающий его расстояние от нуля независимо от знака.

Сравнение чисел с помощью координатной прямой

Знание того, что такое координатная прямая, позволяет не только находить координаты точек, но и что еще удобно делать с ее помощью? Оказывается, координатную прямую очень удобно использовать для визуального сравнения чисел.

Существует простое правило: чем правее расположена точка на координатной прямой, тем больше соответствующее ей число. И наоборот, точки с меньшей координатой находятся левее.

Это позволяет легко и наглядно сравнивать любые числа, откладывая их на координатной прямой!