Примеры решения второго замечательного предела: полезные формулы

Второй замечательный предел - одна из самых полезных и практичных формул в математическом анализе. Однако его применение на практике часто вызывает затруднения. Давайте разберемся с примерами решения этого предела и научимся использовать его как швейцарский нож!

Основы второго замечательного предела

Для начала давайте вспомним, что из себя представляет сам второй замечательный предел. Вот его классическая формулировка:

При стремлении аргумента x к бесконечности ( x → +∞) выполняется равенство:

Где e - число Эйлера. Иными словами, предел единицы, возведенной в степень приближающейся к бесконечности функции f(x) , равен числу e .

Геометрический смысл

Данный предел можно интерпретировать геометрически. Представим себе показательную функцию y = b^x . При фиксированном основании b > 1 и стремящемся к бесконечности показателе функция неограниченно возрастает. А в случае b = 1 имеем y = 1 при любых значениях x . То есть "предельное" основание, равное 1, дает в итоге постоянную функцию, равную e .

Когда применим этот предел

Итак, второй замечательный предел применим в тех случаях, когда под знаком предела имеем выражение вида:

• Единица в степени функции от x
• Эта функция стремится к бесконечности или минус бесконечности при x , стремящемся к определенному пределу (чаще всего x → +∞)

На практике такие ситуации возникают достаточно часто. Рассмотрим типичный пример:

Здесь функция x² стремится к +∞ при x → +∞, соответственно можно применить второй замечательный предел.

Алгоритм применения

Чтобы грамотно воспользоваться этим пределом на практике, придерживайтесь следующих шагов:

1. Проверьте, есть ли под знаком предела выражение вида "1 в степени функция от x "
2. Убедитесь, что функция в показателе степени стремится к ±∞
3. Примените непосредственно формулу второго замечательного предела
4. При необходимости упростите получившееся выражение

Давайте теперь разберем более сложные примеры решения второй замечательный предел с применением этого алгоритма.

Примеры решения второго замечательного предела

Простые примеры

Рассмотрим самые простые случаи. Возьмем предел:

Функция 3x+5 стремится к +∞ при x → +∞, поэтому применим формулу:

Аналогично для предела:

Здесь 2x² - 3x - 1 → +∞, соответственно:

Пример со степенями и корнями

Рассмотрим чуть более сложный пример:

Сначала разложим выражение под корнем на множители:

Теперь видно, что функция x³ стремится к +∞ при x → +∞. Применяем формулу:

Примеры решения второго замечательного предела для продвинутых

Рассмотрим посложнее пример:

Сначала преобразуем выражение в числителе:

Теперь видим знакомую конструкцию. Функция x⁴ стремится к +∞, применяем предел:

Получили число Эйлера e . Как видите, даже в сложных случаях алгоритм позволяет грамотно применить второй замечательный предел.

В следующей части статьи разберем полезные следствия из этого предела.

Следствия второго замечательного предела

Помимо самого второго замечательного предела, существует несколько его следствий. Они тоже могут быть полезны на практике.

Основные следствия

Рассмотрим три наиболее применяемых следствия:

1. При x → +∞:
2. При x → -∞:
3. При x → 0:

Первое следствие используется, когда функция в показателе стремится к +∞. Второе - когда к -∞. Третье применимо при стремлении аргумента к нулю.

Пример первого следствия

Рассмотрим применение первого следствия для предела:

Функция 3x при x → +∞ стремится к +∞. Применяем первое следствие:

Пример второго следствия

Возьмем следующий предел с отрицательной бесконечностью в показателе:

Здесь -2x при x → -∞ дает -∞. Используем второе следствие:

Пример третьего следствия

Рассмотрим последний вариант - предел с аргументом, стремящимся к нулю:

Синус при x → 0 дает 0. Применяем третье следствие:

Как видите, следствия позволяют расширить область применения второго замечательного предела.

Связь со сложными выражениями

На практике выражение, содержащее второй замечательный предел, может быть достаточно сложным и громоздким. Рассмотрим приемы преобразования таких выражений.

Преобразования перед применением предела

Часто перед применением самого предела требуется выполнить ряд преобразований исходного выражения. Например:

Сначала разложим на множители и преобразуем:

Теперь можно применить стандартный вид предела для 4x:

Применение тригонометрических формул

Если под знаком предела присутствуют тригонометрические функции, их можно преобразовать по известным формулам:

Преобразуем выражение, используя формулы для синуса и тангенса:

Теперь стандартным образом находим предел для 2x:

Сведение к виду замечательного предела

Иногда требуются дополнительные преобразования, чтобы привести выражение к виду, подходящему для применения предела:

Выполним необходимые действия:

Теперь получили нужный вид

Как видите, иногда требуется выполнить несколько преобразований, прежде чем удастся свести выражение к применению второго замечательного предела. Но зная основные приемы, можно справиться с подобными задачами.

Применение на практике

После изучения теории приступим к практическим заданиям по применению второго замечательного предела.

Классические примеры

Рассмотрим несколько задач из учебников и сборников.

Анализируя выражение, видим знакомую структуру. Функция 2x стремится к +∞, используем стандартный вид предела:

Встречающиеся "подводные камни"

Часто в подобных задачах есть некие "подводные камни". Например, выражение может быть записано со сложными функциями:

Но применив известные преобразования, сводим к стандартному виду:

И далее находим предел по известной формуле.