Основания равнобедренной трапеции равны - главное условие

Основания равнобедренной трапеции являются ключевым элементом при изучении ее свойств. Их соотношение определяет многие параметры: площадь фигуры, длины сторон и диагоналей, углы. Давайте подробно разберем, как из оснований трапеции вычислить все остальные характеристики.

Свойства трапеции, зависящие от длин оснований

Прежде всего, отметим формулы, связывающие основания равнобедренной трапеции с другими ее параметрами:

• Площадь вычисляется по формуле S = h * (a + b) / 2, где a и b - основания, h - высота
• Боковую сторону c можно найти из теоремы Пифагора: c² = a² - (a - b)²/4
• Периметр равен сумме всех сторон: P = a + b + 2*c
• Длину диагонали d можно вычислить по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Итак, зная только основания a и b, можно вычислить все остальные элементы трапеции - площадь, периметр, боковые стороны и диагонали. Давайте разберем это более подробно.

В равнобедренной трапеции основание равно. Найдите

Рассмотрим задачу:

Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 12, найдите боковую сторону трапеции, если известно, что ее площадь равна 34.

Решение:

1. Запишем известные данные:
   a = 5 (меньшее основание) b = 12 (большее основание) S = 34 (площадь трапеции)
2. Выразим высоту трапеции h из формулы площади:

   S = h * (a + b) / 2

   34 = h * (5 + 12) / 2

   h = 8

3. Теперь вычислим боковую сторону c из теоремы Пифагора:

   c² = a² - (a - b)²/4

   c² = 5² - (5 - 12)²/4 = 25 - 49/4 = 25 - 12 = 13

   c = √13 ≈ 3,6

Ответ: боковая сторона равна 3,6.

Аналогично по длинам оснований a и b можно найти любые другие элементы равнобедренной трапеции.

Вычисление периметра трапеции по основаниям

Периметр равнобедренной трапеции равен сумме всех ее сторон. Зная длины оснований a и b, можно вычислить периметр P по формуле:

P = a + b + 2*c

где c - боковая сторона, которую можно найти через основания по теореме Пифагора, как мы уже рассматривали выше.

Пример вычисления периметра трапеции

Допустим, основания равны 7 и 13 см. Тогда:

1. Боковая сторона c = √(7^2 - (7 - 13)^2/4) = √49 - 36/4 = √49 - 9 = √40 = 8 см
2. Периметр P = 7 + 13 + 2*8 = 7 + 13 + 16 = 36 см

Итак, зная только длины оснований трапеции, мы смогли найти периметр.

Формулы для вычисления диагоналей

Длины диагоналей равнобедренной трапеции d1 и d2 тоже выражаются через основания a, b и высоту h:

• d1² = (a + b/2)² + h²
• d2² = a² + (b - a/2)²

Где высоту h можно найти из формулы площади трапеции, если она известна.

Применение теоремы косинусов

Если известен один из острых углов трапеции, то для нахождения элементов можно применить теорему косинусов. Например, для вычисления боковой стороны c:

c² = a² + b² - 2*a*b*cos(α)

Где α - острый угол между основаниями.

Особенности равносторонней трапеции

Частным случаем является равносторонняя трапеция, у которой все боковые стороны равны между собой. Для нее справедливы дополнительные соотношения:

• Боковые стороны равны c = (a - b) / 2
• Углы при основаниях равны α = β = arccos((a - b) / (a + b))
• Высота трапеции h = √(4*c^2 - (a - b)^2) / 2

Это упрощает вычисления, так как не нужно применять теорему Пифагора или косинусов для нахождения боковой стороны.

Пример равносторонней трапеции

Например, пусть основания равны 5 и 13 см. Тогда:

• c = (13 - 5) / 2 = 4 см
• α = β = arccos((13 - 5) / (13 + 5)) = 45°
• h = √(4*4^2 - (13 - 5)^2) / 2 = √64 - 64 / 2 = 4 см

Свойства диагоналей

В равносторонней трапеции диагонали обладают следующими свойствами:

1. Диагонали взаимно перпендикулярны
2. Диагонали делят трапецию на 4 равных треугольника
3. Диагонали равны d = √(a^2 + 4*c^2)

Вычисление площади

Площадь равносторонней трапеции находится так же, как и площадь обычной:

S = (a + b) * h / 2

При этом высота вычисляется упрощенно по приведенной выше формуле через основания и боковую сторону.