Что такое иррациональные числа? Примеры

Иррациональные числа - одно из самых загадочных и удивительных понятий в математике. Эти числа на первый взгляд кажутся странными и неестественными. Однако без них невозможно описать многие реальные процессы и явления в природе и технике.

Давайте разберемся, что же такое иррациональные числа, откуда они берутся и для чего нужны. Рассмотрим интересные примеры и свойства этих удивительных чисел. Узнаем, как отличить иррациональное число от рационального и как выполнять вычисления с иррациональностями.

Определение иррациональных чисел

Итак, что такое иррациональные числа?

Иррациональным называется вещественное число, которое невозможно представить в виде отношения двух целых чисел, то есть в виде рациональной дроби.

Например, число π (пи) является иррациональным, так как его нельзя точно выразить через отношение целых чисел. Это бесконечная непериодическая десятичная дробь:

π = 3,14159265358979...

Другой пример - квадратный корень из двух:

√2 = 1,41421356...

Это тоже бесконечная непериодическая дробь.

Основные свойства иррациональных чисел:

• Не являются рациональными числами
• Являются вещественными числами наряду с рациональными
• Могут быть выражены бесконечной непериодической десятичной дробью
• Могут быть корнями натуральных чисел, не являющихся полными квадратами/кубами и т.д.
• Бесконечное множество иррациональных чисел
• "Почти все" вещественные числа - иррациональные

Таким образом, иррациональное число нельзя точно выразить конечной дробью и оно "уходит" в бесконечность при десятичном представлении. Но в отличие от рациональных дробей, здесь нет периодичности - последовательность цифр не повторяется.

Какие числа являются иррациональными? К основным примерам таких чисел относятся:

• Квадратные и кубические корни натуральных чисел, не являющихся полными квадратами или кубами
• Число π и число е (основание натурального логарифма)
• Логарифмы иррациональных чисел
• Результаты арифметических операций с иррациональными числами
• Трансцендентные числа (кроме рациональных)
• Алгебраические иррациональные числа

Как отличить иррациональное число от рационального? Есть несколько способов:

1. Попробовать представить число в виде обыкновенной дроби - с отношением целых числителя и знаменателя. Если так представить нельзя - число иррационально.
2. Разложить число в десятичную дробь. Если дробь непериодическая - число иррационально.
3. Взять из числа корень натуральной степени. Если корень нельзя точно извлечь - исходное число было иррациональным.

Теперь мы знаем, как определить, является ли число рациональным или иррациональным. Давайте более подробно разберем некоторые интересные примеры таких чисел.

Знаменитые иррациональные числа

Наиболее известные и часто встречающиеся в математике и ее приложениях иррациональные числа.

Число π (пи)

Это отношение длины окружности к ее диаметру. Значение π с достаточной точностью равно приблизительно 3,1415926, хотя точного значения у этого числа нет - оно бесконечно в десятичном представлении. Число π встречается при решении множества задач геометрии, физики, техники. Например, для расчета длины окружности или площади круга.

Квадратный корень из 2 (√2)

Это одно из самых известных иррациональных чисел со времен древних греков. Оно равно приблизительно 1,41421 и не имеет точного конечного десятичного представления. Возведение √2 в квадрат дает в точности число 2. Корень из двух встречается в различных геометрических и физических формулах.

Число е

Это число равно приблизительно 2,71828 и является основанием натуральных логарифмов. Оно тоже бесконечно в десятичном представлении. Число е встречается в математическом анализе, теории вероятностей и многих других областях.

Таким образом, мы рассмотрели три самых известных примера иррациональных чисел. Эти "знаменитости" чаще всего фигурируют как в теоретических изысканиях, так и в прикладных задачах естественных наук и техники.

Как видно из примеров, иррациональными могут быть весьма важные и полезные величины. Недаром иррациональные числа называют еще "нерациональными", что не означает отсутствие у них логики или оснований для существования. Просто эти основания носят не "разумный" числовой характер в виде отношений целых чисел, а более абстрактный и общий.

Итак, теперь мы знаем, как выглядят иррациональные числа, как их отличить от рациональных и какие знаменитые примеры таких чисел существуют.

Далее давайте разберем, как можно представлять иррациональности, то есть записывать их с использованием математических обозначений.

Представление иррациональных чисел

Как мы уже выяснили, иррациональное число нельзя точно выразить отношением целых чисел или конечной десятичной дробью. Это "бесконечные" числа. Тем не менее, существует несколько способов записи таких величин:

Бесконечные непериодические десятичные дроби

Это точное представление иррационального числа в виде десятичной записи после запятой. Например:

2,3213213213...

Здесь для наглядности показана "периодичность" (хотя на самом деле ее нет), но ясно, что цифры после запятой идут до бесконечности и не повторяются по кругу, как в обычной периодической дроби.

Примеры:

π = 3,14159265358979...

√5 = 2,236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637...

Десятичное приближение

Для практических расчетов используют десятичное приближение с некоторой точностью. Обычно берут 5-10 знаков после запятой. Например, √2 можно приближенно считать равным 1,41421. Точное значение отличается начиная с 5-го знака после запятой.

Представление через радикалы (корни)

Многие иррациональности можно записать как корни натуральной степени:

Примеры:

• √5
• 3√3
• √[ln(7)]

Здесь √ обозначает квадратный корень, 3√ - кубический корень, ln - натуральный логарифм. Такие записи показывают, из какого рационального числа или выражения взят корень для получения данного иррационального числа.

Как видим, существует несколько способов представления иррациональных чисел для удобства записи и выполнения вычислений. Чаще всего применяют десятичные приближения, но иногда требуются точные обозначения в виде бесконечных дробей или радикалов.

Далее давайте разберем, как выполнять арифметические действия над иррациональными числами.

Арифметические операции с иррациональными числами

После того как мы разобрались, как записывать иррациональные числа, давайте выясним, как выполнять над ними основные арифметические операции.

Сложение и вычитание

Правила сложения и вычитания иррациональных чисел такие же, как и для рациональных. Просто складываем или вычитаем как обычные числа:

√5 + √3 = 4,7434164903...

2√2 - √3 = 1,2426406871...

Особенности:

• Результат тоже является иррациональным числом
• Можно складывать и вычитать как одинаковые, так и разные корни
• Корни можно представлять как в точном виде, так и десятичным приближением

Умножение и деление

Здесь тоже применяются стандартные правила:

√2 * √8 = 2√2

√3 / √2 = 0,8164965809...

Особенности:

• При умножении показатели корней складываются
• При делении показатель в числителе вычитается из показателя в знаменателе
• Результат может быть как рациональным, так и иррациональным

Также для иррациональных чисел действуют правила возведения в степень. Например:

(√7)^2 = 7

Как видим, результат в данном случае получился рациональным числом.

Вычисление значений выражений

Рассмотрим несколько примеров вычисления значений выражений, содержащих иррациональности:

1) √50 + 3√3 - √2

Решение:

√50 = 5

3√3 = 3 * 1,732 = 5,196

√2 = 1,414

Подставляя значения:

5 + 5,196 - 1,414 = 8,782

2) (2 + √3) / (√5 - √2)

Решение:

2 + √3 = 2 + 1,732 = 3,732

√5 - √2 = 2,236 - 1,414 = 0,822

Делим:

(3,732) / (0,822) = 4,541

Итак, теперь мы знаем основные правила действий с иррациональными числами и умеем вычислять значения выражений с радикалами. Давайте перейдем к следующему вопросу - как сравнивать такие числа.