Как перевести периодическую дробь в обыкновенную: пошаговая инструкция

Периодические дроби часто встречаются при решении математических задач. Умение грамотно перевести их в обыкновенный вид может в разы упростить вычисления и понимание дальнейших действий.

Что такое периодическая дробь и ее основные виды

Периодическая дробь – это особый вид бесконечной десятичной дроби, в записи которой с некоторого места бесконечно повторяется определенная последовательность цифр, называемая периодом. Например:

• 0,33333... - период 3
• 0,4545454... - период 45
• 0,3215321... - период 321

Различают два основных вида периодических дробей:

1. Чистые – период начинается сразу после запятой. Например: 0,(3); 0,(45); 0,(123).
2. Смешанные – между дробной частью и началом периода есть дополнительные цифры. Например: 5,52(123); 0,531(67); 15,(32).

Правила перевода в обыкновенный вид для этих видов дробей различаются.

Как перевести периодическую дробь в обыкновенную пошагово

Рассмотрим последовательность действий для перевода сначала чистой, а затем смешанной периодической дроби в обыкновенную.

Алгоритм перевода чистой периодической дроби

1. Записать период дроби в числителе обыкновенной дроби.
2. В знаменателе записать столько цифр 9, сколько знаков в периоде.

Например, переведем дробь 0,(45):

1. Период 45 записываем в числителе: ⁴⁵/_?
2. В периоде 2 знака, поэтому в знаменателе пишем 2 девятки: ⁴⁵/₉₉

Ответ: 0,(45) = ⁴⁵/₉₉.

Алгоритм перевода смешанной периодической дроби

Здесь последовательность перевода такова:

1. В числитель записать разность числа после запятой (включая период) и числа после запятой до начала периода.
2. В знаменатель записать сначала столько цифр 9, сколько знаков в периоде, а затем столько нулей, сколько цифр было после запятой до начала периода.

Переведем дробь 5,367(45):

1. Число после запятой с периодом: 36745. До периода: 367. Их разность: 36745 – 367 = 36378.
2. В периоде 2 цифры – пишем 2 девятки. Цифр после запятой до периода было 3 – добавляем 3 нуля: ³⁶³⁷⁸/₉₉₀₀₀

Ответ: 5,367(45) = ³⁶³⁷⁸/₉₉₀₀₀.

Рекомендации по применению алгоритмов

Для закрепления навыков перевода периодических дробей рекомендуется:

• Тщательно разбирать каждый шаг алгоритмов на конкретных числовых примерах.
• Составлять сводные таблицы правил перевода.
• Выполнять упражнения на самостоятельный перевод различных видов периодических дробей.

Следование предложенным алгоритмам позволит довести процесс перевода дробей до автоматизма и избежать ошибок.

Copy code

Таким образом, следуя пошаговым инструкциям, можно с легкостью освоить перевод периодических дробей в обыкновенные. Это позволит уверенно оперировать такими дробями при решении математических задач.

Практическое применение при решении математических задач

Перевод периодических дробей в обыкновенные часто применяется при решении различных математических задач, где встречаются бесконечные десятичные дроби.

Примеры задач

Рассмотрим несколько примеров.

1. Вычислить: \(\sqrt{0,(9)}\)

   Copy code

   Решение:

   Переводим 0,(9) в обыкновенную дробь: 0,(9) = \(9/99\)

   \(\sqrt{0,(9)} = \sqrt{9/99} = 3/9\)

2. Решить уравнение: \(5x - 0,(6) = 3\)

   Copy code

   Решение:

   \(0,(6) = 6/99\)

   Подставляем в уравнение:\(5x - 6/99 = 3\)

   \(x = 9/10\)

Рекомендации по применению на практике

Чтобы научиться уверенно использовать перевод периодических дробей при решении задач, рекомендуется:

• Регулярно решать задачи с периодическими дробями из учебников и сборников.
• При решении обращать внимание, в каких случаях требуется перевести дробь в обыкновенную.
• Составлять шпаргалки с алгоритмами перевода для справок.

Особенности перевода при наличии целой части

Если периодическая дробь имеет целую часть, алгоритм перевода не меняется:

1. Записать период в числитель.
2. Определить количество 9 и 0 в знаменателе, исходя из периода и цифр до него в дробной части.

Например, периодическая дробь 2,472(38) переводится так:

\(2,472(38) = \dfrac{47238 - 472}{9900} = \boxed{\dfrac{46766}{9900}}\)