Как находить угловой коэффициент прямой: пошаговая инструкция с примерами

Угловой коэффициент - важная характеристика прямой на плоскости. От него зависит расположение прямой, возможность провести к ней касательную и многое другое. Давайте разберемся, что это такое и как найти угловой коэффициент прямой в различных ситуациях.

Что такое угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой обозначается буквой k и показывает, насколько быстро меняется ордината y при изменении абсциссы x. Давайте найдем угловой коэффициент прямой проходящей через точки A(1, 2) и B(3, 5):

• Нарисуем прямую через эти точки
• Вычислим прирост ординаты: Δy = 5 - 2 = 3
• Вычислим прирост абсциссы: Δx = 3 - 1 = 2
• Поделим одно на другое: k = Δy/Δx = 3/2 = 1.5

Получилось, что при изменении x на 2 единицы, y изменяется на 1.5 единицы. Это и есть угловой коэффициент. Он показывает, насколько круто поднимается прямая. Например, для вертикальной прямой k стремится к бесконечности.

Кроме того, знак коэффициента определяет направление наклона:

• k > 0 - прямая идет вверх вправо
• k < 0 - прямая идет вниз вправо
• k = 0 - горизонтальная прямая

Поиск углового коэффициента через угол наклона

Как найти угловой коэффициент прямой, если известен угол ее наклона α к оси Ox? В этом случае используется формула:

k = tgα

Рассмотрим пример. Дана прямая, угол ее наклона к оси абсцисс равен 30°. Найдите угловой коэффициент прямой.

Решение: α = 30° tg30° = 0.577 k = tgα = tg30° = 0.577

Ответ: k = 0.577.

Этот метод удобен, когда в задаче явно указан угол наклона прямой. Главное при вычислениях - не перепутать острую и тупую грани угла.

Нахождение коэффициента через координаты точек

Часто нужно найти угловой коэффициент прямой проходящей через точки с известными координатами. Для этого можно воспользоваться общим уравнением прямой:

y - y1 = k(x - x1)

Где (x1, y1) - координаты некоторой точки на прямой. Подставляя разные точки, находим угловой коэффициент k:

Пример. Найдите угловой коэффициент прямой проходящей через точки A(2, 3) и B(5, 7).

Решение:

• Подставляем координаты точки A(2, 3) в уравнение: y - 3 = k(x - 2)
• Подставляем координаты точки B(5, 7): 7 - 3 = k(5 - 2) 4 = k·3 k = 4/3 = 1.33

Ответ: угловой коэффициент прямой, проходящей через заданные точки, равен 1.33.

Коэффициент в параметрических уравнениях

Еще одна разновидность задания уравнения прямой - параметрические уравнения:

• x = 3t + 1
• y = 2t - 5

Где t - параметр. Чтобы найти угловой коэффициент прямой, заданной такими уравнениями, нужно выполнить следующие действия:

1. Приравнять правые части уравнений:
2. Решить полученное уравнение относительно t
3. Подставить найденное t в одно из исходных уравнений и привести его к виду y = kx + b

Рассмотрим на примере данных уравнений.

Решение:

• 3t + 1 = 2t - 5
• t = 2
• Подставляем в первое уравнение: x = 3·2 + 1 = 7
• Преобразуем: y = 2x - 9 k = 2

Ответ: k = 2.

Таким образом, параметрические уравнения тоже можно преобразовать к виду y = kx + b для нахождения углового коэффициента.

Особенности канонических уравнений

Еще один распространенный в экзаменационных заданиях вид уравнения прямой - каноническое уравнение:

x/a + y/b = 1

Где a и b - заданные коэффициенты. Чтобы находить угловой коэффициент k из такого уравнения, используем следующие действия:

1. Решаем уравнение относительно y:
2. Приводим результат к виду y = kx + b
3. Находим коэффициент k

Рассмотрим на примере:

x/2 + y/(-3) = 1

Решение:

• y = -3·(1 - x/2)
• y = -(3/2)·x - 3
• k = -(3/2)

Ответ: k = -(3/2)

Где еще используется коэффициент?

Кроме описания положения прямой на плоскости, угловой коэффициент используется во многих задачах для выяснения взаимного расположения прямых.

Например, можно найти угловой коэффициент прямой, чтобы проверить, перпендикулярны ли две прямые. Или параллельны ли они. Рассмотрим несколько примеров.

Проверка параллельности прямых

Известно, что если у двух прямых угловые коэффициенты равны, то такие прямые параллельны. Проверим это утверждение для прямых:

• y = 2x + 1
• 3y - 2x = 5

Найдем угловой коэффициент второй прямой, преобразовав ее уравнение:

• 3y - 2x = 5
• 3y = 2x + 5
• y = (2/3)x + (5/3)

Коэффициенты совпали, значит прямые параллельны. Таким образом, угловой коэффициент позволяет быстро определить взаимное расположение прямых.

Проверка перпендикулярности

Аналогично угловой коэффициент используется для проверки перпендикулярности прямых. Известно, что если произведение коэффициентов k1 и k2 двух прямых равно -1, то такие прямые перпендикулярны.

Проверим это для прямых:

• y = 2x + 3
• 3y + 2x = 8

Найдем угловой коэффициент второй прямой:

• 3y + 2x = 8
• 3y = -2x + 8
• y = (-2/3)x + 8/3

Коэффициент k2 = -2/3. k1 = 2, k2 = -2/3 k1·k2 = -1

Значит, прямые перпендикулярны! Из этого примера видно, как угловой коэффициент помогает определять взаимное расположение прямых на плоскости.

Решение задач на движение

Угловой коэффициент часто используется при решении физических задач на равноускоренное движение. Например, для нахождения ускорения или определения отрезков пути. Рассмотрим такую задачу.

Тело движется прямолинейно с ускорением 2 м/с2. Найдем ускорение, если известно, что за 4 секунды тело прошло путь 16 м.

Путь S задается формулой S = S0 + V0*t + (a*t2)/2, где a - ускорение.

Запишем это уравнение для данных условий:

• S = 0 + V0*t + (a*t2)/2
• 16 = 0 + V0*4 + 2*t2

Определим угловой коэффициент этой прямой:

• k = 2

Значит, ускорение равно 2 м/с2.

Определение положения точки

Еще одно важное применение углового коэффициента - определение положения некоторой точки относительно прямой на координатной плоскости.

Для этого подставляют координаты точки в уравнение прямой y = kx + b и анализируют результат:

• Если равенство выполняется - точка лежит на прямой
• Если нет - точка находится с внешней стороны прямой

Рассмотрим на примере. Определим положение точки A(2, 3) относительно прямой y = 2x - 1:

• Подставляем координаты точки в уравнение прямой: 3 = 2·2 - 1 3 = 3
• Равенство выполняется, значит точка A(2, 3) лежит на данной прямой

Построение касательной

Умение находить угловой коэффициент прямой необходимо и при построении к ней касательной в заданной точке. В этом случае касательная имеет тот же угловой коэффициент (тот же угол наклона), что и сама прямая.

Например, провести касательную к прямой y = 3x + 1 в точке с абсциссой 2.

Решение. Коэффициент прямой равен 3. Значит, искомая касательная имеет уравнение:

• y = 3x + b

Определяем смещение b из условия прохождения касательной через заданную точку (2, 7).

• Получаем: b = 4
• Итого: y = 3x + 4

Построение нормали

Аналогичные рассуждения применимы и к построению нормали к прямой в заданной точке. Тут используется тот факт, что нормаль всегда перпендикулярна касательной, а значит, и самой прямой.