7 класс, формулы сокращенного умножения: примеры

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) - удобный математический инструмент для быстрых вычислений и преобразований выражений. С их помощью можно существенно экономить время и избегать ошибок. Научиться использовать основные ФСУ нужно каждому семикласснику.

Три базовые формулы сокращенного умножения

В 7 классе изучают три основные ФСУ:

• Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• Разность квадратов: a² - b² = (a + b)(a - b)

Эти три формулы позволяют быстро выполнять возведение в квадрат суммы или разности двух выражений. Рассмотрим их использование на примерах.

Пример вычисления с помощью ФСУ

Вычислим значение выражения (5x + 3y)² используя формулу квадрата суммы:

1. (5x + 3y)² = (a + b)², где a = 5x, b = 3y
2. Подставляем в формулу: (5x + 3y)² = (5x)² + 2·(5x)·(3y) + (3y)²
3. Выполняем операции: (5x + 3y)² = 25x² + 30xy + 9y²

Как видно из примера, использование ФСУ позволяет быстро получить ответ, выполнив всего 3 простые операции вместо трудоемкого возведения в степень.

Запоминание формул

Для эффективного использования ФСУ их нужно выучить. Воспользуйтесь следующими приемами:

• Сравните формулы квадрата суммы и разности - они очень похожи, различаются только знаками
• Проговаривайте формулы вслух и записывайте на бумаге
• Тренируйтесь с подстановкой конкретных чисел вместо переменных

С постоянной тренировкой все три основные ФСУ будут доведены до автоматизма.

Формулы сокращенного умножения, 7 класс

Формулы сокращенного умножения начинают изучать в 7 классе в рамках предмета алгебра. Эта тема является важным элементом школьной программы, так как знание и умение применять ФСУ пригодится на протяжении всего дальнейшего курса алгебры и других точных наук.

Где применяют ФСУ

Основные области использования формул сокращенного умножения в 7 классе:

• Упрощение алгебраических выражений
• Решение уравнений
• Разложение многочленов на множители
• Выделение полного квадрата в выражениях

Рассмотрим типовые примеры применения ФСУ для этих задач.

Пример упрощения выражений

Упростим выражение (x + 5)² - 4x с помощью формулы квадрата суммы:

1. (x + 5)² = x² + 2·x·5 + 25
2. Подставляем в исходное выражение: x² + 10x + 25 - 4x
3. Приводим подобные: x² + 6x + 25

Использование ФСУ позволило быстро упростить выражение всего за 3 шага.

Формулы сокращенного умножения по алгебре для 7 класса

Алгебра в 7 классе во многом посвящена изучению и практическому применению формул сокращенного умножения. Это одна из важнейших тем школьного курса алгебры, которая пригодится для дальнейшего изучения математики. Давайте разберемся, какие формулы изучают в 7 классе и где их можно применить.

Три основные формулы

В 7 классе изучают 3 базовые ФСУ:

1. Квадрат суммы / разности
2. Разность квадратов
3. Куб суммы / разности

Эти формулы позволяют выполнять умножение и возведение в степень гораздо быстрее по сравнению с раскрытием скобок и перемножением множителей.

Где применяют

Основные задачи 7 класса, где используют ФСУ:

• Упрощение выражений
• Решение уравнений
• Разложение многочленов на множители

Рассмотрим эти случаи более подробно далее.

Пример разложения многочлена на множители

Одно из важных применений формул сокращенного умножения в 7 классе - разложение многочленов на множители. Рассмотрим алгоритм на конкретном примере.

Дан многочлен: x² + 6x + 9.

1. Ищем в выражении знакомые квадраты или кубы чисел
2. Видим, что 9 = 3². Значит, есть квадрат
3. Предполагаем разложение вида (x + ?)²
4. Сравнивая коэффициенты, находим неизвестное число: 3
5. Получаем разложение: x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Аналогично можно разлагать многочлены, используя формулы куба суммы или разности.

Выделение полного квадрата в выражениях

Еще одно полезное применение ФСУ в 7 классе - выделение полного квадрата в выражениях. Это прием позволяет упростить ряд выражений или привести уравнения к более удобному для решения виду.

Например, дано выражение: x² - 2x + 1. Чтобы выделить полный квадрат, выполняем следующие шаги:

1. Группируем слагаемые с переменной: x² - 2x + 1
2. Добавляем и вычитаем 1, чтобы получить полный квадрат: x² - 2x + 1 = (x - 1)²

Получили выражение в виде квадрата двучлена. Такое преобразование часто используется при решении различных уравнений в курсе алгебры 7 класса.

Запоминание формул сокращенного умножения

Для активного использования ФСУ их необходимо твердо запомнить. Вот несколько эффективных приемов:

• Составьте шпаргалки и разместите их на видном месте
• Проговаривайте формулы вслух и записывайте от руки
• Придумайте яркие ассоциации или картинки к формулам
• Тренируйтесь подставлять конкретные значения в формулы

С постоянным повторением формулы перейдут в долговременную память и их применение станет автоматическим навыком при решении задач.

Решение задач повышенной сложности

После изучения базовых формул сокращенного умножения, переходят к более сложным заданиям, требующим комплексного подхода и нестандартных решений. Рассмотрим примеры.

Задачи с использованием нескольких формул

В одной задаче может потребоваться применить сразу несколько разных формул ФСУ. Например:

Дано выражение: (2x + 3y - 5z)² - 4(x² - y²).

Решение:

1. Применяем формулу квадрата суммы к первой скобке
2. Раскрываем скобки во втором слагаемом с помощью формулы разности квадратов
3. Группируем и приводим подобные

Таким образом, задействовали сразу 3 разные ФСУ - квадрат суммы, разность квадратов и раскрытие скобок.

Задачи на доказательство тождеств

Для проверки знания формул даются задания вида:

Докажите тождество: (2x - y)³ - 8(x - y)³ = (x + y)³

Здесь нужно самостоятельно подобрать формулы так, чтобы правая и левая часть выражения совпали. Такие задачи развивают математическую интуицию.

Тренировка на примерах из жизни

Для лучшего усвоения ФСУ полезно решать задачи, взятые из реальной жизни, где формулы применяются для вычислений и моделирования.

Например, нужно найти площадь участка, имеющего форму треугольника со сторонами 10 м и 15 м. Используем формулу Герона, в основе которой лежит ФСУ. Подставляя значения, получаем ответ.

Такие практические кейсы помогают глубже разобраться в применении формул сокращенного умножения.

Исторические факты о формулах сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения имеют долгую и интересную историю. Их открытие в разные века внесло огромный вклад в развитие математики.

Открытие формул в Древней Греции

Первые формулы для упрощения вычислений появились еще в Древней Греции в V-IV веках до н.э. Особенно прославился своими математическими трудами Пифагор, который впервые сформулировал теорему квадрата гипотенузы.

Развитие теории многочленов

В Средние века и эпоху Возрождения происходило активное изучение свойств многочленов. В XVI веке итальянский математик Джироламо Кардано открыл формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени, в основе которых лежали преобразования с использованием кубов и биквадратов.

ФСУ в российских школьных учебниках

В России теория сокращенного умножения стала включаться в школьную программу с середины XIX века. Известный математик и педагог П.Л. Чебышев активно выступал за обязательное обучение детей основным алгебраическим преобразованиям, в том числе с помощью ФСУ.

Применение ФСУ в смежных дисциплинах

Формулы сокращенного умножения находят применение не только в базовом курсе алгебры 7 класса. Их активно используют в различных разделах математики, а также смежных науках:

• Геометрия (вычисление площадей)
• Физика (математические модели)
• Информатика (оптимизация вычислений)

Таким образом, знание ФСУ - это фундаментальный навык для изучения точных и естественных дисциплин.