Теорема, обратная теореме Пифагора — фундаментальной в геометрии

Теорема Пифагора - одна из самых фундаментальных в геометрии. Она позволяет вычислять длины сторон прямоугольных треугольников. Но мало кто знает о существовании обратной теоремы Пифагора, которая не менее полезна.

История открытия теоремы Пифагора

Пифагор - древнегреческий математик, живший в VI веке до н.э. Ему приписывают открытие теоремы о соотношении сторон прямоугольного треугольника. Однако и до Пифагора эта теорема была известна в Древнем Египте и Вавилоне.

Вавилонские математики применяли теорему Пифагора при земельных измерениях, для вычисления расстояний и площадей.

Вот простейший пример прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 см, гипотенузой 5 см:

Для него справедливо соотношение: 32 + 42 = 52

Формулировка теоремы Пифагора и ее доказательство

Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Эту теорему можно легко доказать с помощью следующей геометрической конструкции:

1. Берем прямоугольный треугольник ABC с катетами AB и BC длиной a и b, гипотенузой AC длиной c.
2. Строим на катетах квадраты ABEF и CDHG.
3. Замечаем, что на гипотенузе АС можно построить квадрат ACKL, равный сумме двух квадратов на катетах.

Таким образом, верна формула:

c2 = a2 + b2

Рассмотрим численный пример для треугольника с катетами 6 и 8 см:

Итак, для треугольника с катетами 6 и 8 см гипотенуза равна 10 см. Это следует из теоремы Пифагора.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Существует и обратная теореме Пифагора. Ее формулировка:

Если в некотором треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Доказательство обратной теоремы Пифагора

Докажем справедливость обратной теоремы Пифагора.

Пусть в некотором треугольнике ABC выполняется равенство: c2 = a2 + b2, где a, b, c - длины сторон этого треугольника.

1. Построим на плоскости прямой угол C1 и отложим на его сторонах отрезки длиной a и b.
2. Соединим концы этих отрезков. Получим прямоугольный треугольник A1B1C1, в котором по теореме Пифагора выполняется: c12 = a2 + b2
3. Но в нашем исходном треугольнике ABC тоже c2 = a2 + b2
4. Значит, c = c1, и треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам
5. Следовательно, в треугольнике ABC угол C прямой

Таким образом, обратная теорема Пифагора доказана.

Как найти пифагоровы треугольники

Треугольник, удовлетворяющий теореме Пифагора, называется пифагоровым . Его стороны должны задаваться целыми числами.

Наиболее известный пример - египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Чтобы найти другие пифагоровы треугольники, нужно подбирать числа, удовлетворяющие соотношению Пифагора.

Приложения обратной теоремы Пифагора

Обратная теорема позволяет решать важные практические задачи.

Например, проверить, является ли заданный треугольник прямоугольным, не измеряя углы. Достаточно вычислить длины его сторон и применить обратную теорему.

Связь прямой и обратной теорем Пифагора

Как видно, прямая и обратная теоремы Пифагора тесно связаны и дополняют друг друга. Первая позволяет вычислить неизвестную сторону прямоугольного треугольника, а вторая - определить, является ли треугольник с заданными сторонами прямоугольным.

Пифагор и его школа

Пифагор основал свою философско-религиозную школу, где изучались математика, музыка, астрономия. Ученики Пифагора внесли большой вклад в теорию чисел и геометрию.

Согласно преданию, Пифагор открыл свою знаменитую теорему, когда увидел на поле четыре фигуры:

• квадрат
• прямоугольный треугольник
• другой прямоугольный треугольник
• большой квадрат, образованный из трех предыдущих фигур

Это навело его на мысль о соотношении между сторонами в прямоугольном треугольнике.

Пифагор и мистика чисел

Пифагор придавал большое значение свойствам и соотношениям чисел. Числа считались у пифагорейцев мистическими сущностями, определяющими судьбу и характер человека.

Само число 10, сумма первых четырех натуральных чисел (1 + 2 + 3 + 4 = 10) у пифагорейцев олицетворяло совершенство и божественную гармонию мироздания.

Возможно, поэтому теорема Пифагора, связывающая между собой числа, показалась столь важной и мистически значимой.

Вавилонские таблички с расчетами

Задолго до Пифагора в Древней Месопотамии существовала развитая математика. Ученые обнаружили глиняные таблички со старинными записями математических вычислений.

На одной из таких табличек (ок. 1800 г. до н.э.) есть чертеж прямоугольного треугольника и приведен расчет по теореме Пифагора. Это говорит о том, что вавилоняне знали эту теорему.

Пифагорейское древо

Для поиска пифагоровых троек чисел используется геометрическая схема, называемая «пифагорейским деревом». В ее основе лежит теорема Пифагора.

На этом рисунке видно, что если взять две последовательные вершины дерева (числа 3 и 4), и сложить их квадраты (9 + 16 = 25), то получится квадрат числа на следующей вершине (5²).

Таким образом, пифагорейское древо порождает бесконечное множество пифагоровых троек.

Пифагоровы штаны

Существует множество интересных фактов, связанных с именем Пифагора и его теоремой. Например, так называемые «пифагоровы штаны».

Это штаны, ширина и длина которых относятся как 3:4, а длина штанин к длине штанов - как 5:12. Такое соотношение сторон образует пифагоров треугольник со сторонами 12, 16 и 20 сантиметров.

Математика Древнего Египта

Как отмечалось выше, египтяне также владели теоремой Пифагора. Они применяли ее на практике, например, для восстановления границ полей после разлива Нила.

Ученый Ричард Дж. Гэтчинсон предположил, что египтяне открыли теорему Пифагора раньше вавилонян и греков, проанализировав соотношение сторон пирамид.