Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы: свойства и применение

Углы являются одним из базовых понятий геометрии. Но далеко не все знают об их разновидностях и свойствах. А между тем, понимание особенностей накрест лежащих, соответственных и односторонних углов позволяет решать многие задачи.

Основные понятия и определения

Угол на плоскости образуется двумя лучами, выходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла. Каждый из лучей именуется стороной угла. Величина угла измеряется в градусах.

При пересечении двух прямых третьей прямой-секущей образуются разные типы углов. Рассмотрим их подробнее.

Накрест лежащие углы

Это углы, лежащие по разные стороны от секущей между двумя параллельными прямыми. Накрест лежащие углы всегда равны. Например, на рисунке углы ∠1 и ∠2 являются накрест лежащими.

Односторонние углы

Односторонними называются углы, лежащие по одну сторону от секущей. Сумма односторонних углов при пересечении параллельных прямых равна 180°. На рисунке односторонними являются углы ∠4 и ∠5.

Соответственные углы

Это углы, лежащие по одну сторону от секущей и расположенные в соответствующих позициях относительно параллельных прямых. Соответственные углы всегда равны друг другу. На примере соответственными являются углы ∠6 и ∠8.

Вертикальные углы

Вертикальными называются углы с общей вершиной и прямыми, являющимися продолжениями друг друга. Вертикальные углы всегда равны. На рисунке углы ∠2 и ∠3 являются вертикальными.

Знание свойств этих углов позволяет решать множество задач в геометрии. А еще их можно применить в совершенно неожиданных ситуациях. Например, чтобы мысленно определить, являются ли стороны здания параллельными, можно воспользоваться зрительной памятью об односторонних или соответственных углах, образованных углами здания и линией вашего взгляда.

Признаки и теоремы о параллельных прямых

Существует три основные теоремы, позволяющие определить параллельность двух прямых через рассмотрение образуемых ими углов с секущей.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Это один из самых простых и наглядных признаков параллельности. Его легко запомнить и применять при решении задач. Помните только, что речь идет именно о накрест лежащих углах, т.е. лежащих по разные стороны от секущей!

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Здесь все так же просто - сравниваем соответственные углы и если они равны, то прямые гарантированно параллельны. Но будьте внимательны при определении соответственных углов, так как часто путают их с накрест лежащими углами.

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Здесь тоже все просто: сравниваем сумму односторонних углов и если она равна 180°, значит прямые параллельны. Помните, что односторонние углы лежат по одну сторону от секущей.

Эти теоремы можно применять как по отдельности, так и в комбинации друг с другом. Например, в одном случае удобнее воспользоваться равенством соответственных углов, а в другом - суммой односторонних. Главное правильно определить какие углы рассматривать и какое свойство на них распространяется.

Давайте теперь разберем несколько примеров применения этих теорем на практике.

1. Дано: ∠1 = 60°, ∠2 = 120°. Докажите: a || b.
2. Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK. Докажите: AB || CD.

Пока я покажу решение только этих двух задач, чтобы не загромождать статью. Решение остальных примеров вы найдете в следующем разделе про применение теорем в задачах.

И последний важный момент в этом разделе - какие ошибки чаще всего допускают при работе с этими теоремами?

• Путают понятия накрест лежащих и соответственных углов.
• Неправильно определяют односторонние углы.
• Не учитывают, что теоремы работают только для параллельных прямых и секущей .
• Допускают ошибки при сложении или сравнении углов.