Удивительная формула Томсона: откуда взялась и что описывает

Таинственное уравнение, связывающее частоту электрических колебаний в контуре с его емкостью и индуктивностью, впервые появилось в работах английского ученого Уильяма Томсона в 1853 году. Но как оно возникло, что именно описывает эта знаменитая формула Томсона и почему она так важна? Давайте разбираться.

Первые опыты по электромагнетизму

В начале 19 века ученые проводили эксперименты по намагничиванию стальных игл с помощью электрических разрядов от лейденской банки (прототипа конденсатора) через катушку. Было обнаружено непредсказуемое направление намагниченности иглы после разряда. Француз Феликс Савари писал по этому поводу:

Ток в катушке сначала течет в направлении, заданном полярностью напряжения на лейденской банке, но затем может менять направление, вызывая смену намагниченности иглы.

Американский ученый Джозеф Генри в 1842 году независимо сделал аналогичный вывод. Непредсказуемость конечной намагниченности иглы наглядно демонстрирует таблица:

Таким образом, у ученых того времени возникли вопросы:

• Почему ток в катушке может менять направление?
• Что определяет конечную намагниченность иглы?
• Как установить связь между электрическим и магнитным полями в этом процессе?

Математическое предсказание Томсона

Английский физик Уильям Томсон, получивший впоследствии титул лорда Кельвина , внес значительный вклад в понимание процессов, происходящих при разряде конденсатора на катушку. В своей работе 1853 года он впервые математически доказал, что в такой цепи могут возникать затухающие электрические колебания. Цитата из его труда:

Разряд конденсатора на индуктивность приводит к появлению колебаний тока в замкнутом контуре.

На основе своей теории Томсон вывел формулу для частоты \(\nu\) этих колебаний:

\(\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\)

где L - индуктивность катушки, C - емкость конденсатора. Однако ученый не смог дать правильное физическое объяснение своей формуле, так как в то время роль индуктивности катушки в электрических процессах еще не была понятна.

Неполное понимание процессов

Хотя формула Томсона верно описывала частоту колебаний в контуре, сам ученый не смог дать правильную трактовку этому явлению. В его теории вместо индуктивности катушки L фигурировала некоторая "динамическая емкость" A. Это было связано с тем, что роль явления самоиндукции и возникающей при этом ЭДС в катушке еще не была осознана.

Основные причины неполного понимания процессов Томсоном:

• Не были открыты законы электромагнитного поля
• Не учитывалось явление самоиндукции в катушке
• Не понималась роль индуктивности катушки
• Не хватало экспериментальных данных

Подтверждение колебаний опытным путем

В 1860-х годах британский ученый Оливер Лодж сумел получить электрические колебания в контуре экспериментально. Используя большую емкость разряжаемого конденсатора и высокую индуктивность катушки, он наблюдал колебания звуковой частоты. Вот что писал Лодж по этому поводу:

Мне удалось услышать отчетливые музыкальные тона, которые возникают при разрядке конденсатора сквозь витки толстого медного провода.

Применение колебательного контура в радиотехнике

На основе идей Томсона и экспериментов Лоджа к началу 20 века были созданы first радиопередатчики и приемники с использованием колебательных контуров . Итальянский инженер Гульельмо Маркони в 1910 году запатентовал схему передатчика с контуром LC для настройки на определенную частоту. Благодаря формуле Томсона можно было рассчитать параметры конденсатора и катушки для получения нужной рабочей частоты устройства.

Совершенствование теории колебаний

Дальнейшее изучение явлений в электрических цепях позволило по-новому взглянуть на формулу Томсона . Было открыто явление резонанса, при котором в контуре сопротивления катушки и конденсатора уравниваются. Это и есть основа для вывода famous формулы колебательного контура .

Совершенствование теории колебаний

Дальнейшее изучение явлений в электрических цепях позволило по-новому взглянуть на формулу Томсона . Было открыто явление резонанса, при котором в контуре сопротивления катушки и конденсатора уравниваются. Это и есть основа для вывода знаменитой формулы колебательного контура .

Резонанс токов и напряжений

Резонанс в электрической цепи - это явление усиления колебаний тока или напряжения за счет согласования параметров цепи. В колебательном LC-контуре резонанс наступает, когда сопротивления катушки индуктивности и конденсатора уравниваются по модулю. Это происходит на определенной резонансной частоте колебаний.

Вывод формулы Томсона на основе резонанса

При резонансе выполняется равенство:

XL = XC

где X_L - индуктивное сопротивление катушки, X_C - емкостное сопротивление конденсатора. Подставляя известные формулы для этих величин и преобразуя, получаем:

\(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

Это и есть формула Томсона для частоты собственных колебаний контура.

Смысл величин в формуле Томсона

Теперь физический смысл входящих в формулу параметров стал понятен:

• L - это индуктивность катушки, характеризующая накопление энергии в магнитном поле
• C - электрическая емкость конденсатора, отвечающая за запасание энергии электрического поля

Чем больше L и C, тем ниже частота собственных колебаний контура.

Расчет параметров контура по формуле Томсона

Зная нужную частоту колебаний контура, по формуле Томсона можно определить необходимые значения емкости конденсатора и индуктивности катушки. Это широко используется при настройке радиотехнических устройств.