Удивительные свойства биссектрисы параллелограмма

0
0

Биссектриса угла - это луч, делящий угол пополам. Биссектрисы углов параллелограмма обладают уникальными и полезными свойствами, которые мы рассмотрим в этой статье.

Определение параллелограмма

Напомним, что параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. К параллелограммам относятся прямоугольник, ромб, квадрат.

У параллелограмма есть следующие свойства:

  • Противоположные стороны равны
  • Диагонали взаимно перпендикулярны
  • Диагонали делятся точкой пересечения пополам
Портрет профессора, пишущего формулы свойств биссектрисы параллелограмма на стеклянной доске

Свойства биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы углов параллелограмма также обладают интересными особенностями.

  1. Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны
  2. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны
Из этих двух свойств следует, что все четыре биссектрисы параллелограмма образуют параллелограмм.

Докажем эти утверждения с помощью геометрических построений.

Доказательство свойств биссектрисы параллелограмма

Рассмотрим произвольный параллелограмм ABCD со сторонами AB и BC.

Проведем биссектрисы его углов - AE, BF, CG и DH.

  • Угол BAE и угол EBC смежные, так как имеют общую сторону BE.
  • Биссектриса AE делит угол BAC пополам.
  • Биссектриса BF делит угол ABC пополам.

Значит, углы ABE и EBC равны как половины смежных углов BAC и ABC соответственно. Отсюда AE перпендикулярна BF, что и требовалось доказать.

Докажем второе свойство аналогично. Биссектрисы CG и DH делят противоположные углы DAB и BCD пополам. Значит эти углы равны, а биссектрисы CG и DH параллельны.

Дети рисуют мелом параллелограмм на тротуаре в парке

Построение параллелограмма по биссектрисам

Интересный факт - по четырем заданным пересекающимся под прямым углом прямым можно построить параллелограмм. Действительно, если это биссектрисы некоторого параллелограмма, то они образуют параллелограмм согласно доказанным выше свойствам.

Алгоритм построения такой:

  1. Проводим две пересекающиеся под прямым углом прямые AE и BF
  2. Проводим к ним параллельные прямые CG и DH так, чтобы образовался параллелограмм EGFH
  3. Проводим диагонали этого параллелограмма AG и EH
  4. Отмечаем точки их пересечения с прямыми AE и BF - точки B и C
  5. Полученный четырехугольник ABCD - искомый параллелограмм

Таким образом, зная расположение биссектрис, можно восстановить исходный параллелограмм.

Применение биссектрисы в задачах

Рассмотрим несколько примеров применения свойств биссектрисы параллелограмма при решении геометрических задач.

Задача 1

Дан параллелограмм ABCD. Точка E - середина стороны BC. Доказать, что BE перпендикулярна AC.

Решение. Проведем биссектрису угла ABC - это луч BE (поскольку E лежит на стороне BC). По свойству биссектрис параллелограмма, BE перпендикулярна биссектрисе противоположного угла CDA. Но биссектриса угла CDA совпадает с диагональю AC. Значит, BE действительно перпендикулярна AC.

Задача 2

Даны треугольник ABC и точка K - середина BC. Доказать, что если AK перпендикулярна BK, то ABC - равнобедренный треугольник.

Решение. Проведем через точку K прямую, параллельную AC. Получится параллелограмм ABCK. По условию, BK перпендикулярна AK. Но AK - биссектриса угла ABK параллелограмма ABCK. Значит, по свойству биссектрис, BK перпендикулярна биссектрисе противоположного угла КСБ, которая совпадает с СК. Из равенства перпендикулярных BK и CK следует равенство треугольников ABK и ACK. По признаку равенства треугольников получаем AB = AC, то есть ABC - равнобедренный треугольник.

Любопытные факты о биссектрисах

В заключение приведем несколько интересных фактов, связанных с биссектрисами.

  • Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроид или центр тяжести треугольника.
  • Медианы, биссектрисы и высоты треугольника пересекаются в одной точке, если треугольник равносторонний.
  • Серединный перпендикуляр к стороне треугольника параллелен биссектрисе противоположного угла и наоборот.

Как видно, несмотря на простоту определения, биссектрисы углов демонстрируют множество полезных и зачастую неожиданных свойств в геометрических фигурах.