Удивительные свойства биссектрисы параллелограмма
Биссектриса угла - это луч, делящий угол пополам. Биссектрисы углов параллелограмма обладают уникальными и полезными свойствами, которые мы рассмотрим в этой статье.
Определение параллелограмма
Напомним, что параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. К параллелограммам относятся прямоугольник, ромб, квадрат.
У параллелограмма есть следующие свойства:
- Противоположные стороны равны
- Диагонали взаимно перпендикулярны
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам
Свойства биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы углов параллелограмма также обладают интересными особенностями.
- Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны
- Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны
Из этих двух свойств следует, что все четыре биссектрисы параллелограмма образуют параллелограмм.
Докажем эти утверждения с помощью геометрических построений.
Доказательство свойств биссектрисы параллелограмма
Рассмотрим произвольный параллелограмм ABCD со сторонами AB и BC.
Проведем биссектрисы его углов - AE, BF, CG и DH.
- Угол BAE и угол EBC смежные, так как имеют общую сторону BE.
- Биссектриса AE делит угол BAC пополам.
- Биссектриса BF делит угол ABC пополам.
Значит, углы ABE и EBC равны как половины смежных углов BAC и ABC соответственно. Отсюда AE перпендикулярна BF, что и требовалось доказать.
Докажем второе свойство аналогично. Биссектрисы CG и DH делят противоположные углы DAB и BCD пополам. Значит эти углы равны, а биссектрисы CG и DH параллельны.
Построение параллелограмма по биссектрисам
Интересный факт - по четырем заданным пересекающимся под прямым углом прямым можно построить параллелограмм. Действительно, если это биссектрисы некоторого параллелограмма, то они образуют параллелограмм согласно доказанным выше свойствам.
Алгоритм построения такой:
- Проводим две пересекающиеся под прямым углом прямые AE и BF
- Проводим к ним параллельные прямые CG и DH так, чтобы образовался параллелограмм EGFH
- Проводим диагонали этого параллелограмма AG и EH
- Отмечаем точки их пересечения с прямыми AE и BF - точки B и C
- Полученный четырехугольник ABCD - искомый параллелограмм
Таким образом, зная расположение биссектрис, можно восстановить исходный параллелограмм.
Применение биссектрисы в задачах
Рассмотрим несколько примеров применения свойств биссектрисы параллелограмма при решении геометрических задач.
Задача 1
Дан параллелограмм ABCD. Точка E - середина стороны BC. Доказать, что BE перпендикулярна AC.
Решение. Проведем биссектрису угла ABC - это луч BE (поскольку E лежит на стороне BC). По свойству биссектрис параллелограмма, BE перпендикулярна биссектрисе противоположного угла CDA. Но биссектриса угла CDA совпадает с диагональю AC. Значит, BE действительно перпендикулярна AC.
Задача 2
Даны треугольник ABC и точка K - середина BC. Доказать, что если AK перпендикулярна BK, то ABC - равнобедренный треугольник.
Решение. Проведем через точку K прямую, параллельную AC. Получится параллелограмм ABCK. По условию, BK перпендикулярна AK. Но AK - биссектриса угла ABK параллелограмма ABCK. Значит, по свойству биссектрис, BK перпендикулярна биссектрисе противоположного угла КСБ, которая совпадает с СК. Из равенства перпендикулярных BK и CK следует равенство треугольников ABK и ACK. По признаку равенства треугольников получаем AB = AC, то есть ABC - равнобедренный треугольник.
Любопытные факты о биссектрисах
В заключение приведем несколько интересных фактов, связанных с биссектрисами.
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроид или центр тяжести треугольника.
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника пересекаются в одной точке, если треугольник равносторонний.
- Серединный перпендикуляр к стороне треугольника параллелен биссектрисе противоположного угла и наоборот.
Как видно, несмотря на простоту определения, биссектрисы углов демонстрируют множество полезных и зачастую неожиданных свойств в геометрических фигурах.
Похожие статьи
- К чему снятся змеи женщине? Толкование снов
- Практическое значение биологии в жизни человека, в медицине, в пищевой промышленности
- Зачем нужна география в жизни? Зачем нужно изучать географию?
- Общая характеристика русской литературы 19 века: описание, особенности и интересные факты
- Закрыть гештальт - что это? Значение и особенности
- Значение колец на пальцах у женщин. Как носить кольца
- Женские интимные прически: фото, виды и технология выполнения