Что такое смежный угол: определение и основные теоремы

Геометрия является фундаментальной математической дисциплиной, изучающей пространственные формы и их взаимное расположение. Знание базовых геометрических понятий, таких как углы, необходимо для понимания многих естественнонаучных и технических дисциплин.

Определение смежных углов

Что такое смежный угол в геометрии определение звучит следующим образом: смежными называются два угла, у которых одна сторона является общей, а другие две стороны лежат на одной прямой линии, являясь как бы продолжением друг друга.

На рисунке 1 изображены два смежных угла ∠BOA и ∠AOC. Их общая сторона - луч OA. Стороны OB и OC лежат на одной прямой BOC, будучи продолжениями друг друга.

При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов. На рисунке 2 смежными являются углы ∠AOD и ∠COD, ∠AOC и ∠BOC, ∠BOD и ∠AOD, ∠COB и ∠DOB.

Основная теорема о смежных углах

Для смежных углов справедлива следующая важная теорема:

Сумма смежных углов равна 180°.

Это утверждение можно записать также в виде формулы:

∠ABO + ∠OBC = 180°, где ∠ABO и ∠OBC − смежные углы.

Доказательство этой теоремы довольно простое. На рисунке 3 смежные углы ∠ABO и ∠OBC. Их общая сторона − луч OB. Угол AOC является развернутым, то есть равен 180°. Но угол AOC является суммой углов ∠ABO и ∠OBC. Следовательно, справедливо равенство ∠ABO + ∠OBC = ∠AOC = 180°.

Из этой теоремы вытекает несколько важных следствий.

Следствия из теоремы о смежных углах

1. Если смежные углы равны, то каждый из них равен 90°, то есть является прямым углом.
2. Угол, смежный с прямым углом, также всегда прямой.
3. В паре смежных углов один угол всегда острый, а другой − тупой. Два острых или два тупых угла не могут быть смежными.

Рассмотрим подробнее каждое из этих утверждений.

Если смежные углы равны, то в силу рассмотренной выше теоремы их сумма равна 180°. Но сумма двух равных величин в два раза больше одной из них. Поэтому каждый угол равен 180°/2 = 90°. Таким образом, равные смежные углы всегда являются прямыми.

Прямой угол равен 90°. Смежный с ним угол в сумме с прямым углом дает 180°. Значит, смежный с прямым угол тоже равен 90°, то есть является прямым.

Острый угол меньше 90°, а тупой - больше 90°. Если предположить, что смежные углы ∠ABD и ∠DBE на рисунке 6 оба острые, их сумма получится меньше 180°, что противоречит теореме.

Аналогично, если бы углы ∠ABD и ∠DBE были оба тупыми, их сумма превысила бы 180°, что также невозможно.

Таким образом, в паре смежных углов один угол всегда острый, а другой − тупой. Это позволяет классифицировать любую пару смежных углов.

Помимо рассмотренной выше основной теоремы, для смежных углов справедливы также важные тригонометрические соотношения.

Равенство синусов смежных углов

Синус любого острого угла равен синусу смежного с ним тупого угла:

sin(α) = sin(180° - α)

Это легко доказывается с помощью определения синуса и рассмотрения прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен α, а другой - 180°-α.

Связь других тригонометрических функций

Для других тригонометрических функций смежных углов выполняются следующие тождества:

• cos(α) = -cos(180° - α)
• tg(α) = -tg(180° - α)
• ctg(α) = -ctg(180° - α)

Знаки функций смежных углов противоположны, а модули равны.

Примеры применения тригонометрических формул

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу:

Дан острый угол α = 30°. Найти cos(150°), если 150° - смежный с данным углом.

Решение: Используем формулу для косинусов смежных углов:

cos(α) = -cos(180° - α)

Подставляя значения углов, получаем:

cos(30°) = -cos(150°)

Отсюда находим: cos(150°) = -cos(30°) = -0,866.

Ответ: cos(150°) = -0,866

Связь смежных углов с параллельными прямыми

Интересный факт: сумма смежных углов, образованных при пересечении двух прямых третьей, равна 180° тогда и только тогда, когда эти две прямые параллельны.

Это утверждение следует из аксиомы параллельных прямых и является важным критерием параллельности в геометрии.

Задачи на применение свойств смежных углов

Рассмотрим несколько примеров типовых задач на использование рассмотренных выше свойств смежных углов.

1. Дан смежный с острым углом тупой угол, равный 100°. Найти острый угол.

2. √3). Найти tg(45°).

3. Доказать, что если смежные углы равны, то они прямые.

Подобные задания помогут лучше усвоить теорию и научиться использовать свойства смежных углов на практике при решении разнообразных геометрических задач.