Параллельные прямые, секущая и углы: свойства и теоремы

Геометрия - наука вечная и увлекательная. Параллельные прямые, пересеченные секущей, образуют углы со свойствами, помогающими решать множество геометрических задач. Давайте разберемся в этих свойствах и научимся их использовать. Читая эту статью, вы освоите мощный инструментарий планиметрии.

1. Основные понятия и определения

Параллельными называются две прямые на плоскости, которые при любом взаимном расположении не пересекаются. Иными словами, сколько бы мы ни продолжали параллельные прямые в обе стороны, они никогда не встретятся.

Признаки параллельности прямых:

• накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых третьей (секущей), равны;
• соответственные углы при пересечении секущей равны;
• сумма односторонних углов равна 180°.

Секущей по отношению к двум параллельным прямым называется прямая, пересекающая эти параллельные.
а, b - параллельные прямые, c - секущая

Рассмотрим основные теоремы, связанные с этими углами:

1. Если накрест лежащие углы, образованные двумя прямыми и секущей, равны, то прямые параллельны.
2. Если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.
3. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Используя эти теоремы при решении задач, часто требуются дополнительные построения на чертеже. Рассмотрим такой пример:

Даны углы ∠1 и ∠2 с попарно параллельными сторонами. Что можно сказать об этих углах? Для ответа на вопрос продолжим стороны углов до пересечения. Получаем, что ∠1 = ∠2, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых.

2. Доказательства основных теорем

Докажем одну из важнейших теорем о параллельных прямых:

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы, образованные этими прямыми и секущей, равны.

Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (см. рис.). Необходимо доказать, что углы ∠1 и ∠5 равны. Предположим обратное: пусть ∠1 ≠ ∠5. Тогда откладываем от луча MN угол ∠QMN, равный ∠5. Получаем, что прямые QM и b параллельны, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, ∠1 = ∠5. Теорема доказана.

Теперь докажем обратную теорему:

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей c накрест лежащие углы равны (см. рис.). Требуется доказать, что прямые a и b параллельны. Рассмотрим два случая.

Если углы 1 и 2 прямые, то прямые a и b перпендикулярны к секущей c (по определению перпендикулярных прямых). Следовательно, прямые a и b параллельны.

Если углы 1 и 2 не прямые, проводим дополнительные построения и показываем равенство углов (см. рис.). При этом снова получаем, что прямые a и b перпендикулярны к c, значит параллельны. Теорема доказана.

3. Решение практических задач

Рассмотрим классическую задачу на применение теоремы о накрест лежащих углах:

Задача. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма ABCD отсекает от него равнобедренный треугольник.

Решение. Проведем биссектрису BM угла B (см. рис.). Так как ABCD - параллелограмм, AD || BC. BM является секущей по отношению к параллельным прямым AD и BC. Тогда углы ∠CBM и ∠BMA будут накрест лежащими при этих параллельных прямых, следовательно, равны. Из равенства этих углов следует, что ∆ABM - равнобедренный треугольник. Теорема доказана.

Аналогично, рассматривая другие фигуры (ромб, трапецию и т.д.), применяя теоремы параллельных прямых, можно получать интересные геометрические факты, помогающие в решении задач.

3. Решение практических задач

Рассмотрим еще одну задачу на применение теоремы о накрест лежащих углах:

Задача. Докажите, что биссектрисы смежных углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Решение. Пусть ABCD - трапеция, BM и CN - биссектрисы углов B и C соответственно (см. рис.). Так как основания трапеции AD и BC параллельны, а MN является секущей, то ∠ABM и ∠DCN - накрест лежащие углы. Следовательно, они равны. Но по свойству биссектрисы ∠ABM = 1/2∠B, а ∠DCN = 1/2∠C. Получаем, что ∠B = ∠C. Значит, треугольник MBN - равнобедренный, и BM ⊥ CN.

Полезные рекомендации

Рассмотрим несколько полезных рекомендаций, которые помогут быстрее и вернее решать задачи на применение теорем о параллельных прямых:

• Внимательно изучите условие задачи, найдите параллельные прямые и секущую;
• Определите, какого типа углы образуют данные прямые: накрест лежащие, односторонние, соответственные;
• Выберите подходящую теорему и примените ее;
• При необходимости проведите дополнительные построения.

Типовые ошибки

Рассмотрим типовые ошибки, которые чаще всего допускают при решении подобных задач:

1. Неправильно определены параллельные прямые и секущая;
2. Не распознан нужный тип углов;
3. Выбрана неподходящая теорема;
4. Нет необходимых дополнительных построений.

Избегая этих ошибок и следуя рекомендациям, можно существенно повысить вероятность правильного решения задачи.

Задачи для самостоятельного решения

Предлагаем вам несколько задач для самостоятельного решения с использованием теорем о параллельных прямых:

Задача 1. Докажите, что если сторона параллелограмма перпендикулярна одной из диагоналей, то параллелограмм - прямоугольник.

Задача 2. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС известно, что ∠BAD = 108°. Найдите ∠ABC.