Как выносить множитель из-под знака корня: 7 простых шагов

Вы когда-нибудь задумывались, как правильно выносить множитель из под знака корня при выполнении математических вычислений? Это на самом деле очень полезный навык, который пригодится вам как при решении школьных задач, так и во взрослой жизни.

1. Необходимые базовые понятия и определения

Прежде чем перейти непосредственно к вынесению множителя из под знака корня, давайте разберемся с некоторыми базовыми понятиями:

• Корень n-ной степени - это число, которое нужно возвести в степень n, чтобы получить подкоренное число:

√b = a, где an = b

• Подкоренное выражение - число или выражение, которое находится под знаком корня
• Показатель корня - цифра n в записи корня n-ной степени √ⁿ

Например, в выражении √8 = 2:

• Подкоренное выражение - 8
• Показатель корня - 2, так как речь идет о квадратном корне
• Корень второй степени из 8 равен 2, поскольку 2² = 8

При вынесении множителя из под корня используется следующая формула:

√xn = xn/2 * √x, где √x - корень, а xⁿ - множитель степени n.

2. Разложение выражения на множители

Часто перед тем, как выносить множитель из под корня, нужно предварительно разложить подкоренное выражение на множители. Это можно сделать несколькими способами:

• Разложить число на простые множители
• Применить формулы сокращенного умножения
• Вынести за скобки общий множитель

Например, нужно упростить выражение √42x2y. Сначала разложим число 42 на простые множители: 42 = 2 * 3 * 7. Затем вынесем общий множитель 2 за знак корня:

√42x2y = √(2 * 3 * 7)x2y = 2√21x2y

Или возьмем следующий пример: √(a + b)2. Здесь можно воспользоваться формулой (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:

√(a + b)2 = √(a2 + 2ab + b2) = |a + b|

Как видите, правильное разложение подкоренного выражения часто упрощает дальнейшие преобразования.

3. Вынос из под корня числового множителя

Вынесите множитель из под знака корня 180.

3. Вынос из под корня числового множителя

Рассмотрим вынос из под корня числового множителя на конкретных примерах. Пусть дано выражение √144x. Число 144 можно представить как 12². Тогда по формуле:

√144x = √(122)x = 12√x

Аналогично, если под корнем находится десятичная дробь, ее можно представить в виде произведения степеней числа 10. Например:

√0,09y = √(0,32)y = 0,3√y

4. Вынос буквенного множителя из под корня

Буквенный множитель выносится из под корня аналогично числовому, только вместо числа берется буква. Рассмотрим пример:

√x4y2 = x4/2√y2 = x2√y2 = x2y

Здесь множитель x⁴ мы разложили на множители x² и вынесли один из них за знак корня, уменьшив его степень вдвое.

5. Одновременный вынос числа и буквы из под корня

Иногда из под корня нужно выносить и числовой, и буквенный множитель. Например:

√72x3y5 = √(9*22)x3y5 = 3*2x√x3y5 = 6x2y5/2

6. Вынос множителя со знаком модуля

Если под знаком корня стоит выражение со знаком модуля, то этот знак сохраняется и после вынесения множителя:

√|x|3 = |x|√|x| = |x|3/2

Аналогично выносится модуль совместно с другим множителем:

√|2x|2 = |2x|√|2x|0 = |2x|

7. Полезные советы

• Перед вынесением обязательно упростите подкоренное выражение
• Выносите сначала числовой множитель, затем буквенный
• Не забывайте делить степень выносимого множителя на показатель корня

8. Примеры вынесения множителя из сложных выражений

Рассмотрим несколько примеров вынесения множителя из более сложных выражений, требующих предварительного преобразования подкоренного выражения.

Пример 1: √(x^2 + 2x + 1)(x - 1)

Решение: Сначала воспользуемся формулой разности квадратов и представим подкоренное выражение в виде (x + 1)². Затем вынесем множитель:

√(x^2 + 2x + 1)(x - 1) = √(x + 1)2(x - 1) = |x + 1|

Пример 2: √(2x + 4)^2

Решение: В данном случае подкоренное выражение уже является квадратом binomial. Выносим его:

√(2x + 4)^2 = |2x + 4|

9. Типичные ошибки

Рассмотрим несколько распространенных ошибок, которые допускают при вынесении множителя из под корня:

• Неверный порядок вынесения множителей - сначала нужно выносить числовой, затем буквенный
• Неправильное деление степени множителя на показатель корня
• Пропуск этапа упрощения подкоренного выражения

Чтобы избежать подобных ошибок, нужно хорошо понимать применяемые формулы и последовательно следовать алгоритму.

10. Тренировка навыка

Для закрепления навыка рекомендую:

• Решать как можно больше разнообразных примеров на вынесение множителя из под корня
• Анализировать решения задач, найденные в учебниках и справочниках
• Периодически повторять теоретические основы (формулы, алгоритмы)

Со временем вынесение множителя из под корня станет для вас простой рутинной операцией, выполняемой быстро и безошибочно!